Question

已知函數(shù)f（x）=（2-a）lnx-1，g（x）=lnx+ax²+x（a∈R），令φ（x）=f（x）+g′（x）．
（Ⅰ）當(dāng)a=0時，求φ（x）的極值；
（Ⅱ）當(dāng)a≤-2時，求φ（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由已知得g′(x)=

1

x

+2ax+1，由此能求出當(dāng)x=

1

2

時，φ（x）的極值．
（2）由已知得φ′（x）=

2ax2+(2-a)x-1

x2

=

a(2x-1)(x+ 1 a )

x2

，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出φ（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（Ⅰ）∵g′(x)=

1

x

+2ax+1，φ（x）=（2-a）lnx+

1

x

+2ax，x∈（0，+∞），
當(dāng)a=0時，φ（x）=2lnx+

1

x

，φ′（x）=

2

x

-

1

x2

=

2x-1

x2

，
令φ′（x）=0，得x=

1

2

，
當(dāng)x∈（0，

1

2

），φ′（x）＜0，φ（x）單調(diào)減，
當(dāng)x∈（

1

2

，+∞），φ′（x）＞0，φ（x）單調(diào)遞增，
所以當(dāng)x=

1

2

時，φ（x）有極小值φ（

1

2

）=2-2ln2，無極大值．…（7分）
（2）φ′（x）=

2ax2+(2-a)x-1

x2

=

2ax2+(2-a)x-1

x2

=

a(2x-1)(x+ 1 a )

x2

，x＞0，
當(dāng)a=-2時，φ（x）的減區(qū)間為（0，+∞），無增區(qū)間．…（10分）
當(dāng)a＜-2時，φ（x）的減區(qū)間為（0，-

1

a

），（

1

2

，+∞），
增區(qū)間為（-

1

a

，

1

2

）．…（12分）

點評：本題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等基本知識．考查運算求解能力及化歸思想、函數(shù)方程思想、分類討論思想的合理運用，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用．