Question

已知函數(shù)f（x）=x-2x²+alnx（a是常數(shù)）．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）證若函數(shù)f（x）在區(qū)間[

1

2

，3]上為單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：常規(guī)題型

分析：（Ⅰ）利用原函數(shù)求縱坐標(biāo)，利用導(dǎo)函數(shù)求切線的斜率，利用點(diǎn)斜式求出切線方程；
（Ⅱ）已知原函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，得到導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上的值恒為正或者恒為負(fù)，得到相應(yīng)函數(shù)的最大值小于零，或者最小值大于零，從而求出參數(shù)的取值范圍，即得到本題的解．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x-2x²+lnx，f'（x）=1-4x+

1

x

，
當(dāng)x=1時(shí)，f（1）=-1，f'（1）=-2．
∴當(dāng)x=1時(shí)，f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為：y+1=-2（x-1）．
即切線方程為：2x+y-1=0．
（Ⅱ）∵f（x）=x-2x²+alnx，
∴f'（x）=1-4x+

a

x

=

-4x2+x-a

x

（x＞0）．
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[

1

2

，3]上為單調(diào)函數(shù)，
∴f'（x）在區(qū)間[

1

2

，3]上的值恒為正，或者值恒為負(fù)．
記g（x）=-4x²+x-a，
則g（x）在區(qū)間[

1

2

，3]上的值恒為正，或者值恒為負(fù)．
∵g（x）=-4x²+x-a的圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為：x=

1

8

，
∴g(

1

2

)≤0或者g(3)≥0，
故有：a≤

1

2

  或  a≥33．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是導(dǎo)數(shù)知識(shí)，包括利用導(dǎo)數(shù)求切線方程，利用導(dǎo)數(shù)研究原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，還涉及到恒成立的問(wèn)題，考查了學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．本題有一定的思維量和計(jì)算量，屬于中檔題．