Question

已知函數(shù)f（x）=2x²-1
（Ⅰ）用定義證明f（x）是偶函數(shù)；
（Ⅱ）用定義證明f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由偶函數(shù)的定義即可證明；
（Ⅱ）根據(jù)定義法證明單調(diào)性的步驟即可證明．

解答： （Ⅰ）證明：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，對于任意的x∈R，都有f（-x）=2（-x）²-1=2x²-1=f（x），∴f（x）是偶函數(shù)．
（Ⅱ）證明：在區(qū)間（-∞，0]上任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，則有
f(x1)-f(x2)=(2x12-1)-(2x22-1)=2(x12-x22)=2(x1-x2)•(x1+x2)，
∵x₁，x₂∈（-∞，0]，x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁+x₂＜0，
即（x₁-x₂）•（x₁+x₂）＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的證明，屬于基本概念與基本方法考查題，此類題要求熟練掌握，保證不失分．