Question

17．求$\frac{12+1{6k}^{2}}{16{+k}^{4}+{8k}^{2}}$的最大值．

Answer 1

分析 化簡得出m=$\frac{1}{{k}^{2}+4}$$+\frac{8}{（{k}^{2}+4）^{2}}$，換元t=$\frac{1}{{k}^{2}+4}$，t∈（0，$\frac{1}{4}$]，得出斷m=t+8t²，t∈（0，$\frac{1}{4}$]，判斷單調(diào)遞增，即可求解最大值．

解答 解：m=$\frac{12+1{6k}^{2}}{16{+k}^{4}+{8k}^{2}}$=$\frac{12+{k}^{2}}{（{k}^{2}+4）^{2}}$=$\frac{1}{{k}^{2}+4}$$+\frac{8}{（{k}^{2}+4）^{2}}$
設(shè)t=$\frac{1}{{k}^{2}+4}$，t∈（0，$\frac{1}{4}$]，
∵m=t+8t²，t∈（0，$\frac{1}{4}$]，
∴根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱軸t=$-\frac{1}{16}$，
判斷m=t+8t²，t∈（0，$\frac{1}{4}$]，單調(diào)遞增，
∴最大值為：當(dāng)t=$\frac{1}{4}$時(shí)，m_大=$\frac{1}{4}$$+\frac{8}{16}$=$\frac{3}{4}$
故$\frac{12+1{6k}^{2}}{16{+k}^{4}+{8k}^{2}}$的最大值為$\frac{3}{4}$．此時(shí)k=0

點(diǎn)評(píng) 本題考查了運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性，換元法求解函數(shù)的最大值，關(guān)鍵是恒等變形，構(gòu)造函數(shù)，難度較大，屬于中檔題．