Question

12．如圖，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是邊長(zhǎng)為4的正三角形，D是BC的中點(diǎn)，A₁D⊥平面ABC．
（1）求證：BC⊥A₁A；
（2）若A₁A=6，求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積．

Answer 1

分析 （1）連接AD，則BC⊥AD，證明BC⊥平面A₁DA，即可證明BC⊥A₁A；
（2）若A₁A=6，求出A₁D=2$\sqrt{6}$，即可求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積．

解答 （1）證明：連接AD，則BC⊥AD，
∵A₁D⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴A₁D⊥BC，
∵A₁D∩AD=D，
∴BC⊥平面A₁DA，
∵BC⊥A₁A；
（2）解：∵AD=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，A₁D⊥AD，A₁A=6，
∴A₁D=2$\sqrt{6}$，
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積V=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×{4}^{2}×2\sqrt{6}$=8$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直，考查三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．