Question

已知函數(shù)．

    （1）求函數(shù)g（x）的極大值；

    （2）求證：存在，使；

    （3）對于函數(shù)與h（x）定義域內(nèi)的任意實數(shù)x，若存在常數(shù)k、b使得≤kx +b和

         h（x）≥kx+b都成立，則稱直線y=kx+b為函數(shù)與h（x）的分界線，試探究函數(shù) 與h（x）是否存在“分界線”？若存在，請給予汪明，并求出k、b的值：若不存在，請說明理由。

Answer 1

    （1）

令解得

       令解得．

       ∴函數(shù)在（0,1）內(nèi)單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．  

       所以的極大值為

（2）由（Ⅰ）知在（0,1）內(nèi)單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

       令

    ∴  

       取則

  

故存在使即存在使

      （說明：的取法不唯一，只要滿足且即可）

（3）設(shè)

      則

      則當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；

      當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增．

      ∴是函數(shù)的極小值點，也是最小值點,

      ∴

      ∴函數(shù)與的圖象在處有公共點（）．

      設(shè)與存在“分界線”且方程為，

      令函數(shù)

      ①由≥，得在上恒成立，

      即在上恒成立，

      ∴，

      即，

      ∴，故

      ②下面說明：，

      即恒成立．

      設(shè)

      則

      ∵當(dāng)時，,函數(shù)單調(diào)遞增，

        當(dāng)時，,函數(shù)單調(diào)遞減，

      ∴當(dāng)時，取得最大值0，．

      ∴成立．

      綜合①②知且

      故函數(shù)與存在“分界線”，

      此時…