Question

1．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n}}$，S_n是其前n項(xiàng)和，則S₂₀₁₅=（　　）

• A． $\frac{2011}{2}$
• B． 1009
• C． 1007
• D． $\frac{2017}{2}$

Answer 1

分析 由已知結(jié)合數(shù)列遞推式求出數(shù)列前幾項(xiàng)，可得數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，由此可得S₂₀₁₅．

解答 解：由a₁=2，a_n+1=$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n}}$，得
${a}_{2}=\frac{{a}_{1}-1}{{a}_{1}}=\frac{1}{2}$，
${a}_{3}=\frac{{a}_{2}-1}{{a}_{2}}=\frac{\frac{1}{2}-1}{\frac{1}{2}}=-1$，
${a}_{4}=\frac{{a}_{3}-1}{{a}_{3}}=\frac{-1-1}{-1}=2$，
由上可知，數(shù)列{a_n}是以3為周期的周期數(shù)列，
則S₂₀₁₅=a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₅=671（a₁+a₂+a₃）+a₁+a₂
=$671×（2+\frac{1}{2}-1）+$$\frac{5}{2}$=1009．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列遞推式，關(guān)鍵是對數(shù)列周期的發(fā)現(xiàn)，是基礎(chǔ)題．