Question

橢圓

x2

16

+

y2

9

=1的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，過(guò)焦點(diǎn)F₁的直線(xiàn)交橢圓于A(yíng)，B兩點(diǎn)，若△ABF₂的內(nèi)切圓的面積為π．A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）和（x₂，y₂），則|y₂-y₁|的值為

 

．

Answer 1

分析：先根據(jù)橢圓方程求得a和c，及左右焦點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)三角形內(nèi)切圓面積求得內(nèi)切圓半徑，進(jìn)而根據(jù)△ABF₂的面積=△AF₁F₂的面積+△BF₁F₂的面積求得△ABF₂的面積=

7

|y₂-y₁|進(jìn)而根據(jù)內(nèi)切圓半徑和三角形周長(zhǎng)求得其面積，建立等式求得|y₂-y₁|的值．

解答：解：橢圓：

x2

16

+

y2

9

=1，a=4，b=3，∴c=

7

，
左、右焦點(diǎn)F₁（-

7

，0）、F₂（

7

，0），
△ABF₂的內(nèi)切圓面積為π，則內(nèi)切圓的半徑為r=1，
而△ABF₂的面積=△AF₁F₂的面積+△BF₁F₂的面積=

1

2

×|y₁|×|F1F₂|+

1

2

×|y₂|×|F₁F₂|=

1

2

×（|y₁|+|y₂|）×|F₁F₂|=

7

|y₂-y₁|（A、B在x軸的上下兩側(cè)）
又△ABF₂的面積═

1

2

×|r（|AB|+|BF₂|+|F₂A|=

1

2

×（2a+2a）=2a=8．
所以

7

|y₂-y₁|=8，
|y₂-y₁|=

8 7

7

．
故答案為

8 7

7

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題，橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，三角形內(nèi)切圓性質(zhì)．