Question

等差數列{a_n}中首項為a₁，公差為d，前n項和為S_n，給出下列四個命題：
①數列{（

1

2

） an}為等比數列；
②若a₂+a₁₂=2，則S₁₃=13；
③S_n=na_n-

n(n-1)

2

d；
④若d＞0，則S_n一定有最大值．
其中正確命題的序號是

①②③

．

Answer 1

分析：①根據等比數列的定義證明．②利用等差數列的性質證明．③根據等差數列的前n項和公式推導證明．④利用等差數列前n項和的性質判斷．

解答：解：①

( 1 2 )an

( 1 2 )an-1

=(

1

2

)an-an-1=(

1

2

)d為常數，所以數列{（

1

2

） an}為等比數列；正確．
②在等差數列中，a₂+a₁₂=a₁+a₁₃=2，所以S₁₃=

(a1+a13)

2

×13=

2

2

×13=13，所以正確．
③在等差數列中，以a_n為首項，此時數列的公差為-d，S_n=na_n+

n(n-1)(-d)

2

=na_n-

n(n-1)

2

d；所以正確．
④若d＞0，則等差數列為遞增數列，此時S_n沒有有最大值．所以④錯誤．
故答案為：①②③

點評：本題主要考查等差數列的應用，要求熟練掌握等差數列的通項公式和性質，考查學生的運算能力．