Question

（本題滿分18分）本題共3個(gè)小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分6分，第3小題滿分9分.
已知數(shù)列滿足.
（1）若，求的取值范圍；
（2）若是公比為等比數(shù)列，，求的取值范圍；
（3）若成等差數(shù)列，且，求正整數(shù)的最大值，以及取最大值時(shí)相應(yīng)數(shù)列的公差.

Answer 1

（1）；（2）；（3）的最大值為1999，此時(shí)公差為.

試題分析：（1）比較容易，只要根據(jù)已知列出不等式組，即可解得；（2）首先由已知得不等式，即，可解得。又有條件，這時(shí)還要忘記分類(lèi)討論，時(shí)，，滿足，當(dāng)時(shí)，有，解這不等式時(shí)，分類(lèi)，分和進(jìn)行討論；（3）由已知可得∴，∴，，這樣我們可以首先計(jì)算出的取值范圍是，再由，可得，從而，解得，即最大值為1999，此時(shí)可求得．
試題解析：（1）由題得，
（2）由題得，∵，且數(shù)列是等比數(shù)列，，
∴，∴，∴.
又∵，∴當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立，滿足題意.
當(dāng)時(shí)，
∴①當(dāng)時(shí)，，由單調(diào)性可得，，解得，
②當(dāng)時(shí)，，由單調(diào)性可得，，解得，
（3）由題得，∵，且數(shù)列成等差數(shù)列，，
∴，∴，,
所以時(shí)，，時(shí)，，所以．
∴
又∵，∴
∴，∴，解得，，
∴的最大值為1999，此時(shí)公差為．
【考點(diǎn)】解不等式（組），數(shù)列的單調(diào)性，分類(lèi)討論，等差（比）數(shù)列的前項(xiàng)和.