已知函數(shù)f(x)的圖象在[a,b]上連續(xù)不斷,定義:f1(x)=min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]),f2(x)=max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]).其中,min{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最小值,max{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最大值.若存在最小正整數(shù)k,使得f2(x)-f1(x)≤k(x-a)對(duì)任意的x∈[a,b]成立,則稱函數(shù)f(x)為[a,b]上的“k階收縮函數(shù)”.
(1)若f(x)=cosx,x∈[0,π],試寫出f1(x),f2(x)的表達(dá)式;
(2)已知函數(shù)f(x)=x2,x∈[-1,4],試判斷f(x)是否為[-1,4]上的“k階收縮函數(shù)”,如果是,求出對(duì)應(yīng)的k;如果不是,請(qǐng)說明理由;
(3)已知b>0,函數(shù)f(x)=-x3+3x2是[0,b]上的2階收縮函數(shù),求b的取值范圍.
分析:(1)根據(jù)f(x)=cosx的最大值為1,可得f1(x)、f2(x)的解析式.
(2)根據(jù)函數(shù)f(x)=x2在x∈[-1,4]上的值域,先寫出f1(x)、f2(x)的解析式,再由f2(x)-f1(x)≤k(x-a)求出k的范圍得到答案.
(3)先對(duì)函數(shù)f(x)進(jìn)行求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而寫出f1(x)、f2(x)的解析式,然后再由f2(x)-f1(x)≤k(x-a)求出k的范圍得到答案.
解答:解:(Ⅰ)由題意可得:f
1(x)=cosx,x∈[0,π],f
2(x)=1,x∈[0,π].
(Ⅱ)
f1(x)=,
f2(x)=f2(x)-f1(x)= | 1-x2,x∈[-1,0) | 1,x∈[0,1) | x2,x∈[1,4] |
| |
當(dāng)x∈[-1,0]時(shí),1-x
2≤k(x+1),∴k≥1-x,k≥2;
當(dāng)x∈(0,1)時(shí),1≤k(x+1),∴
k≥,∴k≥1;
當(dāng)x∈[1,4]時(shí),x
2≤k(x+1),∴
k≥,∴
k≥.
綜上所述,∴
k≥即存在k=4,使得f(x)是[-1,4]上的4階收縮函數(shù).
(Ⅲ)f'(x)=-3x
2+6x=-3x(x-2),令f'(x)=0得x=0或x=2.
函數(shù)f(x)的變化情況如下:
令f(x)=0,解得x=0或3.
(ⅰ)b≤2時(shí),f(x)在[0,b]上單調(diào)遞增,
因此,f
2(x)=f(x)=-x
3+3x
2,f
1(x)=f(0)=0.
因?yàn)閒(x)=-x
3+3x
2是[0,b]上的2階收縮函數(shù),
所以,①f
2(x)-f
1(x)≤2(x-0)對(duì)x∈[0,b]恒成立;
②存在x∈[0,b],使得f
2(x)-f
1(x)>(x-0)成立.
①即:-x
3+3x
2≤2x對(duì)x∈[0,b]恒成立,
由-x
3+3x
2≤2x,解得:0≤x≤1或x≥2,
要使-x
3+3x
2≤2x對(duì)x∈[0,b]恒成立,需且只需0<b≤1.
②即:存在x∈[0,b],使得x(x
2-3x+1)<0成立.
由x(x
2-3x+1)<0得:x<0或
<x<,
所以,需且只需
b>.
綜合①②可得:
<b≤1.
(ⅱ)當(dāng)b>2時(shí),顯然有
∈[0,b],由于f(x)在[0,2]上單調(diào)遞增,
根據(jù)定義可得:
f2()=,
f1()=0,
可得
f2()-f1()=>2×=3,
此時(shí),f
2(x)-f
1(x)≤2(x-0)不成立.
綜合。ⅲ┛傻茫
<b≤1.
注:在ⅱ)中只要取區(qū)間(1,2)內(nèi)的一個(gè)數(shù)來構(gòu)造反例均可,這里用
只是因?yàn)楹?jiǎn)單而已.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查學(xué)生的對(duì)新問題的接受、分析和解決的能力.要求學(xué)生要有很扎實(shí)的基本功才能作對(duì)這類問題.