Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P到點(diǎn)F（3，0）的距離的4倍與它到直線x=2的距離的3倍之和記為d，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，d恒等于點(diǎn)P的橫坐標(biāo)與18之和
（Ⅰ）求點(diǎn)P的軌跡C；
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)F的直線I與軌跡C相交于M，N兩點(diǎn)，求線段MN長度的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意，要求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，由于已經(jīng)告訴了動(dòng)點(diǎn)所滿足的約束條件所以利用直接法求其軌跡即可：
（2）由題意及解析式畫出圖形，利用直線與曲線的軌跡方程聯(lián)立，通過圖形討論直線與軌跡的交點(diǎn)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求解即可．
解答：解（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），由題設(shè)則3︳x-2︳①由題意軌跡圖（1）如下：
（圖1）
當(dāng)x＞2時(shí)，由①得，
化簡得．
當(dāng)x≤2時(shí)由①得
化簡得y²=12x
故點(diǎn)P的軌跡C是橢圓在直線x=2的右側(cè)
部分與拋物線C₂：y²=12x在直線
x=2的左側(cè)部分（包括它與直線x=2
的交點(diǎn)）所組成的曲線，參見圖1
（Ⅱ）如圖2所示，
易知直線x=2與C₁，C₂的交點(diǎn)都是A（2，），
B（2，），直線AF，BF的斜
率分別為k_AF=，k_BF=．                       圖2
當(dāng)點(diǎn)P在C₁上時(shí)，由②知．④
當(dāng)點(diǎn)P在C₂上時(shí)，由③知|PF|=3+x⑤
若直線l的斜率k存在，則直線l的方程為y=k（x-3）
（1）當(dāng)k≤k_AF，或k≥k_BF，即k≤-2時(shí)，直線I與軌跡C的兩個(gè)交點(diǎn)M（x₁，y₁），N（，）都在C₁上，此時(shí)由④知
|MF|=6-x₁|NF|=6-
從而|MN|=|MF|+|NF|=（6-x₁）+（6-）=12-（x₁+）
由得（3+4k²）x²-24k²x+36k²-108=0則x₁，x是這個(gè)方程的兩根，
所以x₁+=*|MN|=12-（x₁+）=12-
因?yàn)楫?dāng)，或時(shí)，k²≥24，．
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立．
（2）當(dāng)時(shí)，直線L與軌跡C的兩個(gè)交點(diǎn)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）分別在C₁，C₂上，不妨設(shè)點(diǎn)M在C₁上，點(diǎn)C₂上，則④⑤知，
設(shè)直線AF與橢圓C₁的另一交點(diǎn)為E（x，y），則x＜x₁，x₂＜2.
所以|MN|=|MF|+|NF|＜|EF|+|AF|=|AE|．而點(diǎn)A，E都在C₁上，且，有（1）知
若直線ι的斜率不存在，則x₁=x₂=3，此時(shí)
綜上所述，線段MN長度的最大值為．
點(diǎn)評：（1）此問重點(diǎn)考查了直接法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，還考查了對于含絕對值的式子化簡時(shí)的討論；
（2）此問重點(diǎn)考查了利用圖形抓住題目中的信息，分類討論的思想，還考查了圓錐曲線中的焦半徑公式（用點(diǎn)的一個(gè)坐標(biāo)表示），還考查了兩點(diǎn)間的距離公式．