Question

在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且cosA=

1

3

（1）求sin²

B+C

2

+cos2A的值；
（2）若a=

5

，求bc的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式和二倍角的余弦公式，將原式化簡(jiǎn)得到關(guān)于cosA的式子，代入已知數(shù)據(jù)即可得到所求；
（2）由余弦定理，得到b²+c²=

2

3

bc+5，再結(jié)合基本不等式化簡(jiǎn)整理，即可得到當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)，bc的最大值為

15

4

．

解答：解：（1）∵sin²

B+C

2

=

1

2

[1-cos（B+C）]=

1

2

（1+cosA）
∴sin²

B+C

2

+cos2A=

1

2

（1+cosA）+（2cos²A-1）=

1

2

（1+

1

3

）+（

2

9

-1）=-

1

9

；
（2）∵a=

5

，∴由余弦定理，得a²=b²+c²-2bccosA=5
即b²+c²=

2

3

bc+5
∵b²+c²≥2bc，
∴

2

3

bc+5≥2bc，解得bc≤

15

4

，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等號(hào)．
因此，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=

15

2

時(shí)，bc的最大值為

15

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題給出三角形一個(gè)角的余弦值，在已知這角對(duì)邊的情況下求另兩條邊積的最大值，著重考查了三角恒等變換、余弦定理和基本不等式求最值等知識(shí)，屬于中檔題．