Question

4．已知下列四個(gè)命題：
①若函數(shù)y=f（x）在定義域上為減函數(shù)，則函數(shù)y=-f（x）在定義域上為增函數(shù)；
②若函數(shù)y=f（x）在定義域上為增函數(shù)，則函數(shù)g（x）=$\frac{1}{f（x）}$在其定義域內(nèi)為減函數(shù)；
③若函數(shù)y=1+log_a（x-1）圖象過(guò)定點(diǎn)P（m，n），則log_mn=0；
④若函數(shù)y=f（x）和y=g（x）在區(qū)間[-a，a]上都是奇函數(shù)，則函數(shù)y=f（x）•g（x）在區(qū)間[-a，a]上是偶函數(shù)，其中正確命題的序號(hào)是①④．

Answer 1

分析 ①由于函數(shù)y=f（x）與y=-f（x）的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)即可得出；
②不一定正確，舉反例如：f（x）=x；
③函數(shù)y=1+log_a（x-1）圖象過(guò)定點(diǎn)P（m，n），可得a^n-1=m-1．則log_mn=0不一定成立，即可判斷出正誤；
④由于函數(shù)y=f（x）和y=g（x）在區(qū)間[-a，a]上都是奇函數(shù)，則函數(shù)f（-x）•g（-x）=-f（x）•[-g（x）]=f（x）g（x），即可判斷出奇偶性．

解答 解：①若函數(shù)y=f（x）在定義域上為減函數(shù)，則函數(shù)y=-f（x）在定義域上為增函數(shù)，正確；
②若函數(shù)y=f（x）在定義域上為增函數(shù)，則函數(shù)g（x）=$\frac{1}{f（x）}$在其定義域內(nèi)為減函數(shù)，不一定正確，例如f（x）=x；
③若函數(shù)y=1+log_a（x-1）圖象過(guò)定點(diǎn)P（m，n），則n=1+log_a（m-1），化為a^n-1=m-1．則log_mn=0不一定成立，因此不正確；
④若函數(shù)y=f（x）和y=g（x）在區(qū)間[-a，a]上都是奇函數(shù)，則函數(shù)f（-x）•g（-x）=-f（x）•[-g（x）]=f（x）g（x）在區(qū)間[-a，a]上是偶函數(shù)，正確．
其中正確命題的序號(hào)是①④．
故答案為：①④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了簡(jiǎn)易邏輯的判定方法、函數(shù)的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．