Question

已知函數(shù)f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-2．
（1）求函數(shù)f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（2）若函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象恰有一個公共點，求實數(shù)a的值；
（3）若函數(shù)y=f（x）+g（x）有兩個不同的極值點x₁，x₂（x₁＜x₂），且x₂-x₁＞ln2，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由f′（x）=lnx+1=0，可得x=
∴①時，函數(shù)f（x）在（t，）上單調(diào)遞減，在（，t+2）上單調(diào)遞增
∴函數(shù)f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值為；
②當t≥時，f（x）在[t，t+2]上單調(diào)遞增，∴f（x）_min=f（t）=tlnt，
∴f（x）_min=；
（2）函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象恰有一個公共點，等價于f（x）-g（x）=xlnx+x²-ax+2=0在（0，+∞）上有且只有一根，即a=在（0，+∞）上有且只有一根
令h（x）=，則
∴x∈（0，1）時，h′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減；x∈（1，+∞）時，h′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增
∴a=h（x）_min=h（1）=3
（3）y=f（x）+g（x）=xlnx-x²+ax-2，則y′=lnx-2x+1+a
題意即為y′=lnx-2x+1+a=0有兩個不同的實根x₁，x₂（x₁＜x₂），
即a=-lnx+2x-1有兩個不同的實根x₁，x₂（x₁＜x₂），
等價于直線y=a與函數(shù)G（x）=-lnx+2x-1的圖象有兩個不同的交點
∵，∴G（x）在（0，）上單調(diào)遞減，在（，+∞）上單調(diào)遞增
畫出函數(shù)圖象的大致形狀（如右圖），
由圖象知，當a＞G（x）_min=G（）=ln2時，x₁，x₂存在，且x₂-x₁的值隨著a的增大而增大
而當x₂-x₁=ln2時，由題意
兩式相減可得
∴x₂=4x₁代入上述方程可得
此時
所以，實數(shù)a的取值范圍為．
分析：（1）求導數(shù)，再分類討論，確定函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，即可求得函數(shù)的最小值；
（2）將函數(shù)圖象只有一個公共點轉(zhuǎn)化為方程只有一根，再分離參數(shù)，求出函數(shù)的最小值即可；
（3）函數(shù)由兩個不同的極值點轉(zhuǎn)化為導函數(shù)等于0的方程有兩個不同的實數(shù)根，進而轉(zhuǎn)化為圖象的交點問題，由此可得結(jié)論．
點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查分離參數(shù)法的運用，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，綜合性強．