已知橢圓M：
x2
a2
+
y2
b2
=1  (a＞b＞0)的四個頂點恰好是一邊長為2，一內角為60°的菱形的四個頂點．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）直線l與橢圓M交于A，B兩點，且線段AB的垂直平分線經過點(0，  -
1
2
)，求△AOB（O為原點）面積的最大值．
（Ⅰ）因為橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的四個頂點恰好是一邊長為2，一內角為60°的菱形的四個頂點，
∴a=
3
，b=1，橢圓M的方程為：
x2
3
+y2=1…4分
（Ⅱ）設A（x1，y1），B（x2，y2），因為AB的垂直平分線經過點（0，-
1
2
），顯然直線AB有斜率，
當直線AB的斜率為0時，AB的垂直平分線為y軸，則x1=-x2，y1=y2，
所以S△AOB=
1
2
|2x1||y1|=|x1||y1|=|x1|•
1-
x12
3
=
x12(1-
x12
3
)
=
1
3
x12(1-x12)
，
∵
x12(3-x12)
≤
x12+(3-x12)
2
=
3
2
，
∴S△AOB≤
3
2
，當且僅不當|x1|=
6
2
時，S△AOB取得最大值為
3
2
…7分
當直線AB的斜率不為0時，則設AB的方程為y=kx+t，
所以
y=kx+t
x2
3
+y2=1
，代入得到（3k2+1）x2+6ktx+3t2-3=0，
當△=4（9k2+3-3t2）＞0，即3k2+1＞t2①，方程有兩個不同的實數(shù)解；
又x1+x2=
-6kt
3k2+1
，
x1+x2
2
=
-3kt
3k2+1
…8分
所以
y1+y2
2
=
t
3k2+1
，又
y1+y2
2
+
1
2
0-
x1+x2
2
=-
1
k
，化簡得到3k2+1=4t②
代入①，得到0＜t＜4，…10分
又原點到直線的距離為d=
|t|
k2+1
，
|AB|=
1+k2
|x1-x2|=
1+k2
•
4(9k2+3-3t2)
3k2+1
，
所以S△AOB=
1
2
|AB||d|=
1
2
|t|
k2+1
•
1+k2
•
4(9k2+3-3t2)
3k2+1
，
化簡得：S△AOB=
1
4
3(4t-t2)
…12分
∵0＜t＜4，所以當t=2時，即k=±
7
3
時，S△AOB取得最大值為
3
2
．
綜上，S△AOB取得最大值為
3
2
…14分
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•西城區(qū)二模）已知橢圓M：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
2
2
3
，且橢圓上一點與橢圓的兩個焦點構成的三角形周長為6+4
2
．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）設直線l與橢圓M交于A，B兩點，且以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點C，求△ABC面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•昌平區(qū)一模）已知橢圓M：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，其短軸的一個端點到右焦點的距離為2，且點A（
2
，1）在橢圓M上．直線l的斜率為
2
2
，且與橢圓M交于B、C兩點．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）求△ABC面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•商丘三模）已知橢圓M：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
2
2
3
，且橢圓上一點與橢圓的兩個焦點構成的三角形的周長為6+4
2
．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）設直線l：x=ky+m與橢圓M交手A，B兩點，若以AB為直徑的圓經過橢圓的右頂點C，求m的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓M：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，直線y=kx（k≠0）與橢圓M交于A、B兩點，直線y=-
1
k
x與橢圓M交于C、D兩點，P點坐標為（a，0），直線PA和PB斜率乘積為-
1
2
．
（1）求橢圓M離心率；
（2）若弦AC的最小值為
2
6
3
，求橢圓M的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•昌平區(qū)二模）如圖，已知橢圓M：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，離心率e=
6
3
，橢圓與x正半軸交于點A，直線l過橢圓中心O，且與橢圓交于B、C兩點，B（1，1）．
（Ⅰ） 求橢圓M的方程；
（Ⅱ）如果橢圓上有兩點P、Q，使∠PBQ的角平分線垂直于AO，問是否存在實數(shù)λ（λ≠0）使得
PQ
=λ
AC
成立？

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