Question

13．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)積為T(mén)_n，且T_n=2-2a_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=（1-a_n）（1-a_n+1），數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求證：$\frac{1}{12}$≤S_n＜$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 （1）數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)積為T(mén)_n，且T_n=2-2a_n，當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2-2a₁，解得a₁．當(dāng)n≥2時(shí)，T_n-1=2-2a_n-1，可得${a}_{n}=\frac{{T}_{n}}{{T}_{n-1}}$，取n=2，3，可得a₂=$\frac{3}{4}$，a₃=$\frac{4}{5}$，
…，猜想a_n=$\frac{n+1}{n+2}$．驗(yàn)證成立即可．
（2）由（1）可得：b_n=$\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}$，可得數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n．再利用數(shù)列的單調(diào)性即可得出．

解答 （1）解：∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)積為T(mén)_n，且T_n=2-2a_n，
∴當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2-2a₁，解得a₁=$\frac{2}{3}$．
當(dāng)n≥2時(shí)，T_n-1=2-2a_n-1，
∴${a}_{n}=\frac{{T}_{n}}{{T}_{n-1}}$=$\frac{2-2{a}_{n}}{2-2{a}_{n-1}}$，
化為${a}_{n}=\frac{1}{2-{a}_{n-1}}$，
取n=2，3，可得a₂=$\frac{3}{4}$，a₃=$\frac{4}{5}$，
…，
猜想a_n=$\frac{n+1}{n+2}$．
經(jīng)過(guò)驗(yàn)證成立．
∴a_n=$\frac{n+1}{n+2}$．
（2）證明：b_n=（1-a_n）（1-a_n+1）=$（1-\frac{n+1}{n+2}）（1-\frac{n+2}{n+3}）$=$\frac{1}{（n+2）（n+3）}$=$\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}$．
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n=$（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）+（\frac{1}{4}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}）$
=$\frac{1}{3}-\frac{1}{n+3}$，
由于數(shù)列$\{\frac{1}{3}-\frac{1}{n+3}\}$單調(diào)遞增，
∴${S}_{1}≤{S}_{n}＜\frac{1}{3}$，
${S}_{1}=\frac{1}{12}$．
即$\frac{1}{12}$≤S_n＜$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推式的應(yīng)用、數(shù)列通項(xiàng)公式的求法、“裂項(xiàng)求和”、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．