Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足S_n+1=（k+1）S_n+2，又a₁=2，a₂=1．
（1）求實(shí)數(shù)k的值；
（2）問數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列嗎？若是，給出證明；若不是，說明理由；
（3）求出數(shù)列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出a₁+a₂=（k+1）a₁+2．由a₁=2，a₂=1，能求出k的值．
（2）數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列．由（1）知Sn+1=

1

2

Sn+2，由此推導(dǎo)出an+1=

1

2

an(n≥2)，由此能證明數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列．
（3）由（2）知等比數(shù)列{a_n}中，a₁=2，q=

1

2

，由此能求出數(shù)列{a_n}的前n項和S_n．

解答： 解：（1）∵S_n+1=（k+1）S_n+2，∴S₂=（k+1）S₁+2，
∴a₁+a₂=（k+1）a₁+2．…（2分）
又∵a₁=2，a₂=1，∴2+1=2（k+1）+2，
解得k=-

1

2

．…（4分）
（2）數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列．…（5分）
由（1）知Sn+1=

1

2

Sn+2，①
當(dāng)n≥2時，Sn=

1

2

Sn-1+2，②
①-②得an+1=

1

2

an(n≥2)．…（7分）
又∵a2=

1

2

a1，且a_n≠0（n∈N*），
∴

an+1

an

=

1

2

(n∈N*)，
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，公比為

1

2

，
∴an=a1qn-1=2×(

1

2

)n-1=

1

2n-2

．…（9分）
（3）∵a₁=2，q=

1

2

，
∴Sn=

2[1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=4(1-

1

2n

)．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列中參數(shù)的求法，考查等比數(shù)列的判斷與證明，考查數(shù)列的前n項和的求法，是中檔題，解題時要熟練掌握等比數(shù)列的性質(zhì)．