Question

已知函數(shù)f（x）=x²-4x+a+3，a∈R．
（Ⅰ）若函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸無交點，求a的取值范圍；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）在[-1，1]上存在零點，求a的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)函數(shù)g（x）=bx+5-2b，b∈R．當a=0時，若對任意的x₁∈[1，4]，總存在x₂∈[1，4]，使得f（x₁）=g（x₂），求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)題意，可以將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)對應(yīng)的方程無實數(shù)根，利用△＜0列出不等關(guān)系式，求解即可得到a的取值范圍；
（Ⅱ）根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸為x=2，可以判斷出二次函數(shù)在去甲[-1，1]上的單調(diào)性，再根據(jù)零點的存在性定理列出不等式組，求解即可得到a的取值范圍；
（Ⅲ）根據(jù)題意，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f（x）的值域為函數(shù)y=g（x）值域的子集，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得f（x）的值域，對于g（x），對其一次項系數(shù)進行分類討論，分別得到g（x）的值域，分別求解，即可得到b的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸無交點，
∴方程f（x）=0的判別式△＜0，
∴16-4（a+3）＜0，解得a＞1，
∴a的取值范圍為（1，+∞）；
（Ⅱ）∵f（x）=x²-4x+a+3的對稱軸是x=2，
∴y=f（x）在[-1，1]上是減函數(shù)，
∵y=f（x）在[-1，1]上存在零點，
∴必有：

f(1)≤0 f(-1)≥0

，即

a≤0 a+8≥0

，
解得：-8≤a≤0，
故實數(shù)a的取值范圍為-8≤a≤0；               
（Ⅲ）若對任意的x₁∈[1，4]，總存在x₂∈[1，4]，使f（x₁）=g（x₂），
只需函數(shù)y=f（x）的值域為函數(shù)y=g（x）值域的子集．
當a=0時，f（x）=x²-4x+3的對稱軸是x=2，∴y=f（x）的值域為[-1，3]，
下面求g（x）=bx+5-2b，x∈[1，4]的值域，
①當b=0時，g（x）=5，不合題意，舍
②當b＞0時，g（x）=bx+5-2b的值域為[5-b，5+2b]，只需要

5-b≤-1 5+2b≥3

，解得b≥6
③當b＜0時，g（x）=bx+5-2b的值域為[5+2b，5-b]，只需要

5+2b≤-1 5-b≥3

，解得b≤-3
綜上：實數(shù)b的取值范圍b≥6或b≤-3．

點評：本題考查了函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系，函數(shù)的零點等價于對應(yīng)方程的根，等價于函數(shù)的圖象與x軸交點的橫坐標，解題時要注意根據(jù)題意合理的選擇轉(zhuǎn)化．考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)的零點與最值問題，對于二次函數(shù)要注意數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，注意抓住二次函數(shù)的開口方向，對稱軸，以及判別式的考慮．本題運用了分類討論的數(shù)學思想方法．屬于中檔題．