Question

已知橢圓：＝1（a＞b＞0）與雙曲線有公共焦點(diǎn)，且離心率為． 分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)． 點(diǎn)是橢圓上位于軸上方的動(dòng)點(diǎn)．直線分別與直線：交于兩點(diǎn)．

（I）求橢圓的方程；

（II）當(dāng)線段的長(zhǎng)度最小時(shí)，在橢圓上是否存在點(diǎn)，使得的面積為？若存在，求出的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

解：（I）由已知得橢圓的焦點(diǎn)為，

，又 ，，橢圓的方程為.   ……..（4分）

（II）直線的斜率顯然存在，且，故可設(shè)直線的方程為，從而                                                         ……..（5分）

由得0

設(shè)則得從而        

即所以

 得                         ……. ……..（7分）

故又

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立

時(shí)，線段的長(zhǎng)度取最小值．                         ……..（9分）

 此時(shí)的方程為      

要使橢圓上存在點(diǎn)，使得的面積等于，只須到直線的距離等于，所以在平行于且與距離等于的直線上．設(shè)直線

則由解得或                     

①當(dāng)時(shí)由得，由于故直線與橢圓沒(méi)有交點(diǎn)．

 

②當(dāng)時(shí)，由，得

由于，故直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)或；

綜上所述，當(dāng)線段的長(zhǎng)度最小時(shí)，在橢圓上僅存在兩個(gè)不同的點(diǎn)或，使得的面積為．                      ……………..（12分）

 

【解析】略