Question

某造紙廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為162平方米的三級污水處理池，池的深度一定（平面圖如圖所示），如果池四周圍墻建造單價為400元/米，中間兩道隔墻建造單價為248元/米，池底建造單價為80元/米²，水池所有墻的厚度忽略不計.

（1）試設(shè)計污水處理池的長和寬，使總造價最低，并求出最低總造價；

（2）若由于地形限制，該池的長和寬都不能超過16米，試設(shè)計污水池的長和寬，使總造價最低，并求出最低總造價.

Answer 1

（1）當長為16.2米，寬為10米時總造價最低，最低總造價為38 880元(2) 當長為16米，寬為10米時，總造價最低，為38 882元

解析:

（1）設(shè)污水處理池的寬為x米，則長為米.                          1分

則總造價f(x)=400×+248×2x+80×162

=1 296x++12 960

=1 296+12 960                                                 4分

≥1 296×2+12 960=38 880（元），

當且僅當x=(x＞0),

即x=10時取等號.                                          6分

∴當長為16.2米，寬為10米時總造價最低，最低總造價為38 880元.             8分

（2）由限制條件知,∴10≤x≤16.                            10分

設(shè)g(x)=x+.

g（x）在上是增函數(shù)，

∴當x=10時(此時=16),

g(x)有最小值，                                                   12分

即f(x)有最小值.1 296×+12 960=38 882(元).

∴當長為16米，寬為10米時，總造價最低，為38 882元.                   14分