Question

已知數(shù)列{a_n}滿足，．
（1）若方程f（x）=x的解稱為函數(shù)y=f（x）的不動(dòng)點(diǎn)，求a_n+1=f（a_n）的不動(dòng)點(diǎn)的值；
（2）若a₁=2，，求證：數(shù)列{lnb_n}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)．
（3）當(dāng)任意n∈N^*時(shí)，求證：b₁+b₂+b₃+…+b_n＜．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)方程不動(dòng)點(diǎn)的定義，令，解得a_n的值，
（2）把等式兩邊同時(shí)加1和兩邊同時(shí)減1，得到兩式相除得，據(jù)此可以得數(shù)列l(wèi)nb_n是以-ln3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，于是可以數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)，
（3）根據(jù)，求得數(shù)列{}前n項(xiàng)和，然后判斷其和與的大小．
解答：解：（1）由方程a_n+1=f（a_n）得，
解得a_n=0，或a_n=-1，或a_n=1．
（2）∵，，
∴兩式相除得，
即b_n+1=b_n³．
由a₁=2可以得到b_n＞0，則lnb_n+1=lnb_n³=3lnb_n．
又，得lnb₁=-ln3，
∴數(shù)列l(wèi)nb_n是以-ln3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列．
∴，（n∈N^*）．
（3）任意n∈N^*，3^n-1≥n．∴，
∴b₁+b₂+b₃++b_n＜
=＜．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列求和和求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握等比數(shù)列的性質(zhì)，還需掌握運(yùn)用放縮法解答不等式，本題是一道綜合性試題，難度一般．