Question

20．在空間四邊形ABCD中，設AB⊥CD，AC⊥BD．
求證：（1）AD⊥BC；
（2）點A在底面BCD上的射影是△BCD的垂心．

Answer 1

分析 作AP垂直于平面BDC，P是垂足，連接CP，DP，BP，CP，DP，BP分別是AC，AD，AB在平面ABC內的射影，由AC⊥BD，AB⊥CD，知點P是△BDC的垂心．故DP垂直于BC．由三垂線定理，知AD⊥BC．

解答 證明：（1）作AP垂直于平面BDC，P是垂足，連接CP，DP，BP，
CP，DP，BP分別是AC，AD，AB在平面BCD內的射影，
∵AC⊥BD，
∴由三垂線定理的逆定理知BD⊥CP．
∵AB⊥CD，
∴由三垂線定理的逆定理知CD⊥BP
∴點P是△BDC的垂心．
∴DP垂直于BC．
由三垂線定理，知AD⊥BC．
（2）由（1）證明，可得點A在底面BCD上的射影是△BCD的垂心．

點評 本題考查空間中直線與直線之間的位置關系，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答，注意三垂線定理及其逆定理的靈活運用．