Question

在直角坐標(biāo)系xOy中，圓O與直線x-

3

y=4相切．
（Ⅰ）求圓O的方程；
（Ⅱ）若圓O上有兩點(diǎn)M，N關(guān)于直線x+2y=0對(duì)稱，且|MN|=2

3

，求直線MN的方程；
（Ⅲ）設(shè)圓O與x軸的交點(diǎn)為A，B，若圓內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|•|PB|=|PO|²，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：綜合題,直線與圓

分析：（Ⅰ）利用點(diǎn)到直線的距離公式求出半徑，即可求圓O的方程；
（Ⅱ）設(shè)出直線方程，利用點(diǎn)到直線的距離以及垂徑定理求出直線方程中的參數(shù)，即可得到直線方程；
（Ⅲ）求出A，B的坐標(biāo)，利用|PA|•|PB|=|PO|²，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．

解答： 解：（Ⅰ）依題設(shè)，圓O的半徑r等于原點(diǎn)O到直線x-

3

y=4的距離，
即r=

4

1+3

=2，得圓O的方程為x²+y²=4．                
（Ⅱ）由題意，可設(shè)直線MN的方程為2x-y+m=0．
則圓心O到直線MN的距離d=

|m|

5

由垂徑定理得：

m2

5

+3=4，即m=±

5

所以直線MN的方程為：2x-y±

5

；
（Ⅲ）設(shè)A（x₁，0），B（x₂，0），x₁＜x₂，
在x²+y²=4中，令y=0，可得x=±2，
∴A（-2，0），B（2，0）
設(shè)P（x，y），則
∵|PA|•|PB|=|PO|²，
∴

(x+2)2+y2

•

(x-2)2+y2

=x²+y²，
∴x²-y²=2，
∴P在圓O內(nèi)，
∴

2

≤|x|＜

3

，
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是x²-y²=2（

2

≤|x|＜

3

）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系，以及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，涉及的知識(shí)有：點(diǎn)到直線的距離公式，兩點(diǎn)距離公式，考查計(jì)算能力．