Question

（本小題滿分12分）已知函數(shù)．

（1）若為函數(shù)的一個極值點，試確定實數(shù)的值，并求此時函數(shù)的極值；

（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

 

 

 

Answer 1

【答案】

解：（1）∵f（x）=2x³－3ax²+1，∴=6x²－6ax．依題意得=6－6a=0，解得a=1．

                        所以f（x）=2x³－3x²+1，=6x（x－1）．令=0，解得x=0或x=1．列表如下：

x	（-∞，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	－	0	＋
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

所以當x=0時，函數(shù)f（x）取得極大值f（0）=1；

當x=1時，函數(shù)f（x）取得極小值f（1）=0．

（2）∵=6x²－6ax=6x（x－a），

∴①當a=0時，=6x²≥0，函數(shù)f（x）在（－¥，+¥）上單調(diào)遞增；

                        ②當a>0時，=6x（x－a），、f（x）隨x的變化情況如下表：

x	（-∞，0）	0	（0，a）	a	（a，+∞）
f′（x）	+	0	－	0	＋
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

                        由上表可知，函數(shù)f（x）在（－¥，0）上單調(diào)遞增，在（0，a）上單調(diào)遞減，在（a，+¥）上單調(diào)遞增；

                        ③同理可得，當a<0時，函數(shù)f（x）在（－¥，a）上單調(diào)遞增，在（a，0）上單調(diào)遞減，在（0，+¥）上單調(diào)遞增．

                        綜上所述，當a=0時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（－¥，+¥）；

                        當a>0時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（－¥，0）和（a，+¥），單調(diào)遞減區(qū)間是（0，a）；

                        當a<0時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（－¥，a）和（0，+¥），單調(diào)遞減區(qū)間是（a，0）．

 

【解析】略