Question

如圖，點P為斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱BB₁上一點，PM⊥BB₁交AA₁于點M，PN⊥BB₁交CC₁于點N．
（1）求證：CC₁⊥MN；
（2）在任意△DEF中有余弦定理：DE²=DF²+EF²-2DF•EFcos∠DFE．拓展到空間，類比三角形的余弦定理，寫出斜三棱柱的三個側(cè)面面積與其中兩個側(cè)面所成的二面角之間的關系式，并予以證明．

Answer 1

（1）證：由題意知，CC₁∥BB₁，PM⊥BB₁，PN⊥BB₁，
∴CC₁⊥PM，CC₁⊥PN，且PM∩PN=P，
∴CC₁⊥平面PMN，MN?平面PMN，
∴CC₁⊥MN；
（2）在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，有

S

2ABB1A1

=

S

2BCC1B1

+

S

2ACC1A1

-2

S

BCC1B1

•

S

ACC1A1

cosα，
其中α為平面CC₁B₁B與平面CC₁A₁A所組成的二面角．
∵CC₁⊥平面PMN，∴上述的二面角為∠MNP，
在△PMN中，PM²=PN²+MN²-2PN•MNcos∠MNP
∴PM²•Cc₁²=PN²•Cc₁²+MN²•Cc₁²-2（PN•Cc₁）•（MN•Cc₁）cos∠MNP，
∵SBCC1B1=PN•CC₁，SACC1A1=MN•CC₁，SABB1A1=PM•BB₁，
∴

S

2ABB1A1

=

S

2BCC1B1

+

S

2ACC1A1

-2

S

BCC1B1

•

S

ACC1A1

cosα
其中α為平面CC₁B₁B與平面CC₁A₁A所組成的二面角．