Question

11．已知曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=2cosθ，若以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，且取相同的單位長(zhǎng)度建立平面直角坐標(biāo)系，則直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}t+m}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程與直線l的普通方程；
（2）設(shè)點(diǎn)P（m，0），若直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且|PA|•|PB|=1，求非負(fù)實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，可得曲線C的普通方程；運(yùn)用代入法，可得直線l的普通方程；
（2）將直線l的參數(shù)方程代入曲線的普通方程，運(yùn)用判別式大于0，韋達(dá)定理，結(jié)合參數(shù)的幾何意義，解方程，即可得到所求m的值．

解答 解：（1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，
曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=2cosθ，即為ρ²=2ρcosθ，
即有x²+y²=2x，即圓（x-1）²+y²=1；
喲直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}t+m}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
可得x-$\sqrt{3}$y-m=0．
（2）將$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}t+m}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$代入圓（x-1）²+y²=1，
可得t²+$\sqrt{3}$（m-1）t+m²-m=0，
由△=3（m-1）²-4（m²-m）＞0，可得-1＜m＜3，
由m為非負(fù)數(shù)，可得0≤m＜3．
設(shè)t₁，t₂是方程的兩根，可得t₁t₂=m²-m，
|PA|•|PB|=1，可得|m²-m|=1，
解得m=1或1±$\sqrt{2}$，
由0≤m＜3．可得m=1或1+$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查極坐標(biāo)系方程、參數(shù)方程和直角坐標(biāo)方程的互化，考查直線參數(shù)方程的運(yùn)用，主要是參數(shù)的幾何意義，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．