精英家教網(wǎng)如圖,△OAB是等邊三角形,∠AOC=45°,OC=
2
,A、B、C三點(diǎn)共線,
(1)求
OB
BC
的值.
(2)D是線段BC上的任意點(diǎn),若
OD
=x
OB
+y
OC
,求x2y的最大值.
分析:(1)由已知易得
OB
BC
的夾角為∠B的補(bǔ)角,由正弦定理,結(jié)合△OAC中,OC=
2
,∠OAC=120°,∠AOC=45°,∠OCA=15°,解三角形OAC,易得OB,BC的長,代入向量數(shù)量積公式即可求解.
(2)由D是線段BC上的任意點(diǎn),若
OD
=x
OB
+y
OC
,我們易得x+y=1,(其中0≤x≤1,0≤y≤1),構(gòu)造函數(shù)f(x)=x2y利用導(dǎo)數(shù)法確定函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而可求出x2y的最大值.
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)sin15o=sin(45o-30o)=
6
-
2
4
(1分)
在△OAC中,∠OAC=120°,∠AOC=45°,∠OCA=15°,
OC
sin120o
=
OA
sin15o
=
AC
sin45o
,
2
3
2
=
2
6
3
=
OA
sin15o
=
AC
sin45o
(3分)
OA=
2
6
3
sin15o=
2
6
3
×
6
-
2
4
=1-
3
3
,
AC=
2
6
3
sin45o=
2
6
3
×
2
2
=
2
3
3
,
∵OA=AB=OB=1-
3
3

故BC=AC+AB=1+
3
3
(5分)
∠OBC=60°,可得<
OB
,
BC
>=120°,
OB
BC
=(1-
3
3
)×(1+
3
3
)×cos120°=-
1
3
(7分)

(2)∵D、B、C三點(diǎn)共線,故可設(shè)
CD
CB
,(0≤λ≤1)(8分)
OD
=(1-λ)
OC
OB
,又
OD
=y
OC
+x
OB

故x+y=λ+(1-λ)=1,(其中0≤x≤1,0≤y≤1)(10分)
令f(x)=x2y=x2(1-x)=x2-x3(0≤x≤1)(11分)
f'(x)=2x-3x2x∈[0,
2
3
]
時(shí),f'(x)=2x-3x2≥0?f(x)在區(qū)間[0,
2
3
]
單調(diào)遞增,x∈[
2
3
,1]
時(shí),f'(x)=2x-3x2≤0?f(x)在區(qū)間[
2
3
,1]
單調(diào)遞減,(13分)
fmax(x)=f(
2
3
)=
4
27
,即x2y的最大值為
4
27
.(14分)
點(diǎn)評:本題考查的知識(shí)是正弦定理,平面向量的數(shù)量積,三點(diǎn)共線的坐標(biāo)表示,導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)在定區(qū)間上的最值.其中(1)中利用正弦定理解三角形,(2)中根據(jù)D、B、C三點(diǎn)共線,得到x+y=1,(其中0≤x≤1,0≤y≤1),是解答的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,△OAB是等邊三角形,∠AOC=45°,OC=
2
,A、B、C三點(diǎn)共線,
(1)求
OB
BC
的值;
(2)D是線段BC上的任意點(diǎn),若
OD
=x
OB
+y
OC
,求xy的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,△OAB是等邊三角形,∠AOC=45°,OC=
2
,A、B、C三點(diǎn)共線.
(Ⅰ)求sin∠BOC的值;
(Ⅱ)求線段BC的長.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,△OAB是等邊三角形,∠AOC=45°,OC=
2
,A、B、C三點(diǎn)共線,
(1)求
OB
BC
的值;
(2)D是線段BC上的任意點(diǎn),若
OD
=x
OB
+y
OC
,求xy的最大值.
精英家教網(wǎng)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010年福建省漳州一中高三質(zhì)量檢查數(shù)學(xué)試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

如圖,△OAB是等邊三角形,∠AOC=45°,OC=,A、B、C三點(diǎn)共線.
(Ⅰ)求sin∠BOC的值;
(Ⅱ)求線段BC的長.

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