分析:(1)由已知易得
•的夾角為∠B的補(bǔ)角,由正弦定理,結(jié)合△OAC中,
OC=,∠OAC=120°,∠AOC=45°,∠OCA=15°,解三角形OAC,易得OB,BC的長,代入向量數(shù)量積公式即可求解.
(2)由D是線段BC上的任意點(diǎn),若
=x
+y
,我們易得x+y=1,(其中0≤x≤1,0≤y≤1),構(gòu)造函數(shù)f(x)=x
2y利用導(dǎo)數(shù)法確定函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而可求出x
2y的最大值.
解答:解:(1)
sin15o=sin(45o-30o)=(1分)
在△OAC中,∠OAC=120°,∠AOC=45°,∠OCA=15°,
∴
==,
即
===(3分)
故
OA=sin15o=×=1-,
AC=sin45o=×=,
∵OA=AB=OB=
1-,
故BC=AC+AB=
1+(5分)
∠OBC=60°,可得<
,
>=120°,
∴
•=(1-
)×(1+
)×cos120°=-
(7分)
(2)∵D、B、C三點(diǎn)共線,故可設(shè)
=λ
,(0≤λ≤1)(8分)
=(1-λ)
+λ
,又
=y
+x
,
故x+y=λ+(1-λ)=1,(其中0≤x≤1,0≤y≤1)(10分)
令f(x)=x
2y=x
2(1-x)=x
2-x
3(0≤x≤1)(11分)
f'(x)=2x-3x
2x∈[0,]時(shí),f'(x)=2x-3x
2≥0?f(x)在區(qū)間
[0,]單調(diào)遞增,
x∈[,1]時(shí),f'(x)=2x-3x
2≤0?f(x)在區(qū)間
[,1]單調(diào)遞減,(13分)
∴
fmax(x)=f()=,即x
2y的最大值為
.(14分)
點(diǎn)評:本題考查的知識(shí)是正弦定理,平面向量的數(shù)量積,三點(diǎn)共線的坐標(biāo)表示,導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)在定區(qū)間上的最值.其中(1)中利用正弦定理解三角形,(2)中根據(jù)D、B、C三點(diǎn)共線,得到x+y=1,(其中0≤x≤1,0≤y≤1),是解答的關(guān)鍵.