Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1 （a＞b＞0）的離心率e=

6

3

，過點A（0，-b）和B（a，0）的直線與原點的距離為

3

2

．
（1）求橢圓的方程；
（2）設F₁、F₂為橢圓的左、右焦點，過F₂作直線交橢圓于P、Q兩點，求△PQF₁的內(nèi)切圓半徑r的最大值．

Answer 1

分析：（1）設出直線的方程，利用直線的截距式寫出直線的方程，利用點到直線的距離公式列出關(guān)于a，b，c的等式，再利用橢圓的離心率公式得到關(guān)于a，b，c的方程組，求出a，b，c的值即得到橢圓的方程．
（2）設出直線方程，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理得到關(guān)于交點坐標的關(guān)系，寫出△PQF₁的面積并求出最大值，再將面積用外接圓的半徑表示，求出半徑的最大值．

解答：解：（1）直線AB 的方程為

x

a

-

y

b

=1即bx-ay-ab=0
由題意得

ab

a2+b2

=1①
∵

c

a

=

6

3

②
a²=b²+c²③
解得a=

3

，b=1
∴橢圓的方程為

x2

3

+y2=1
（2）設PQ：x=ty+

2

代入

x2

3

+y2=1
并整理得(t2+3)y2+2

2

ty-1=0
△=(2

2

t)2+4(t2+3)＞0
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）則
y1+y2=-

2 2 t

t2+3

，y1y2=-

1

t2+3

∴|y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

(- 2 2 t t2+3 )2+ 4 t2+3

=2

3

-( 1 t2+3 - 1 4 )2+ 1 8

當

1

t2+3

=

1

4

即t²=1時，|y1-y2|max=

6

2

∴S△PQF1=

1

2

|F1F2||y1- y2|≤

1

2

•2

2

•

6

2

=

3

又∴S△PQF1=

1

2

(|PF1 | +|QF1|+|PQ|)r=

1

2

•4

3

r=2

3

r
∴rmax=

3

2 3

=

1

2

點評：求圓錐曲線的方程的一般方法是利用待定系數(shù)法；解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一般是將直線的方程與圓錐曲線的方程聯(lián)立，消去一個未知數(shù)得到關(guān)于一個未知數(shù)的二次方程，利用韋達定理找突破口．