Question

已知：f（x）=2acos²x+asin2x+a²（a∈R，a≠0為常數(shù)）．
（1）若x∈R，求f（x）的最小正周期；
（2）若，f（x）的最大值大于10，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）f（x）=a（1+cos2x）+asin2x+a² =2a（sin2xcos+cos2xsin）+a²+a=2asin（2x+）+a²+a，…（3分）
所以函數(shù)的最小正周期為T=．…（4分）
（2）∵，
∴．…（7分）
當a＞0時，當時，函數(shù)的最大值為a²+3a＞10，解得：a＞2（a＜-5舍去）．…（9分）
當a＜0時，當時，函數(shù)的最大值為a²＞10，解得：a＜-（a＞舍去）． …（11分）
綜上所述，a 的范圍是：a＜-或a＞2，即（-∞，-）∪（2，+∞）．…（12分）
分析：（1）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)f（x）的解析式為2asin（2x+）+a²+a，由此求得函數(shù)的最小正周期．
（2）根據(jù)x的范圍求出，當a＞0時，由最大值大于10，求出a的范圍，當a＜0時，同理由最大值大于10，求出a的范圍，再把a的范圍取并集，即得所求．
點評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換，三角函數(shù)的最值及其周期性，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．