Question

把正偶數(shù)列{2n}中的數(shù)按“上小下大，左小右大”的原則排成如圖“三角形”所示的數(shù)表，設(shè)a_ij（i，j∈N^*）是位于這個(gè)三角形數(shù)表中從上往下數(shù)第i行，從左往右數(shù)第j個(gè)數(shù)．
（1）若a_mn=2010，求m，n的值．
（2）已知函數(shù)f（x）的反函數(shù)為f^-1（x）=n+125ⁿ•x³（x＞0，n∈N^*），若記三角形數(shù)表中從上往下數(shù)第n行各數(shù)的和為b_n．①求數(shù)列{f（b_n）}的前n項(xiàng)和S_n；②令Cn=

52n

5n-1

• f(bn) ，{Cn}的前n項(xiàng)之積為T_n（n∈N^*），求證：Tn＜

4

3

•n!．

Answer 1

分析：（1）數(shù)表中是連續(xù)的偶數(shù)，a_mn是第m行的第n個(gè)數(shù)，n≤m，所以先計(jì)算前m-1行共有1+2+3+…+m-1=

m(m-1)

2

個(gè)數(shù)，再加上n等于1005，求出m，n的值．
（2）①先根據(jù)f（x）的反函數(shù)解析式求出f（x）的解析式，利用等差數(shù)列的求和公式，求出前n-1行共有多少個(gè)偶數(shù)，找到第n行的第一個(gè)數(shù)，再用等差數(shù)列的求和公式求出b_n，代入f（x），利用錯(cuò)位相減求和即可．
②化簡(jiǎn)T_n，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明Tn＜

4

3

•n!成立即可．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的步驟，先驗(yàn)證n取第一個(gè)數(shù)時(shí)命題成立，假設(shè)n=k時(shí)命題成立，再證明n=k+1時(shí)命題也成立．

解答：解：（1）因2010是第1005個(gè)偶數(shù)，而前m-1行共有1+2+…+n=

m(m-1)

2

個(gè)偶數(shù)，又∵n≤m，故2010位于第45行第15個(gè)偶數(shù)，故m=45，n=15
（2）①由y=n+125ⁿ•x³得：x=

3 y-n

5n

，f（x）=設(shè)T表示前n個(gè)偶數(shù)和，則
b_n=T

n(n+1)

2

-T

n(n-1)

2

=

n(n+1) 2 [2+n(n+1)]

2

-

n(n-1) 2 [2+n(n-1)]

2

=n³+n
故f（b_n）=

n

5n

，S_n=

1

5

+

2

52

+

3

53

+…+

n

5n

，

1

5

S_n=

1

52

+

2

53

+…+

n

5n+1

4

5

S_n=

1

5

+

1

52

+

1

53

+…+

1

5n

+

1

5n+1

，
∴S_n=

5

16

-

4n+5

16×5n

②易知Cn=

52n

5n-1

• f(bn)=

52n

5n-1

• 

n

5n

=

n5n

5n-1

•
∴T_n=

51

5n-1

52

5n-1

…

5n

5n-1

（n!）
要證Tn＜

4

3

•n!只需證明=

51

5n-1

52

5n-1

…

5n

5n-1

＜

4

3

，
又只需證明

5-1

5

•

52-1

52

… 

5n-1

5n

=（1-

1

5

）（1-

1

52

）…（1-

1

5n

）＞

3

4

，
下先用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1-

1

5

）（1-

1

52

）…（1-

1

5n

）≥1-（

1

5

+

1

52

+…+

1

5n

）
（Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，1-

1

5

=

4

5

≥1-

1

5

故n=1成立；
（Ⅱ）假設(shè)n=k時(shí)，=（1-

1

5

）（1-

1

52

）…（1-

1

5k

）＞1-（

1

5

+

1

52

+…+

1

5k

），
則n=k+1時(shí)，=（1-

1

5

）（1-

1

52

）…（1-

1

5k

）（1-

1

5k+1

）＞1-（

1

5

+

1

52

+…+

1

5k

）（1-

1

5k+1

），
=1-（

1

5

+

1

52

+…+

1

5k

+

1

5k+1

）+（

1

5

+

1

52

+…+

1

5k

）

1

5k+1

＞1-（

1

5

+

1

52

+…+

1

5k

+

1

5k+1

），
故n=k+1也成立．
綜合（Ⅰ），（Ⅱ）知：：（1-

1

5

）（1-

1

52

）…（1-

1

5n

）≥1-（

1

5

+

1

52

+…+

1

5n

）=1-

1 5 (1- 1 5n )

1- 1 5

=

3

4

+

1

4

1

5n

＞

3

4

故原不等式成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)與數(shù)列綜合應(yīng)用來(lái)求數(shù)列的和，以及數(shù)學(xué)歸納法證明不等式成立，注意解題步驟的書寫．