已知矩陣A=
7-9
6-8
，列向量X=
x
y
，Y=
25
22

（1）用逆矩陣方法解方程（組） AX=Y；
（2）用特征向量與特征值求A11×
-61
-41
的值．
分析：（1）先根據(jù)系數(shù)行列式△，得到矩陣A可逆．寫出其逆矩陣，再由
7-9
6-8
x
y
=
25
22
，即可解得原方程組的解；
（2）依據(jù)特征矩陣為
7-λ-9
6-8-λ
，寫出特征多項式，求得特征值，再求得對應(yīng)的特征向量，設(shè)
-61
-41
=m
3
2
+n
1
1
，解此方程組得m=-20，n=-1最后即可求得求A11×
-61
-41
的值．
解答：解：（1）系數(shù)行列式△=|A|=-56-（-54）=-2，矩陣A可逆．
逆矩陣為A-1=-
1
2
-89
-67
=
4-
9
2
3-
7
2
…（3分）
由
7-9
6-8
x
y
=
25
22
，得
x
y
=
4-
9
2
3-
7
2
25
22
=
1
-2
…（5分）
∴原方程組的解是
x=1
y=-2
…（6分）
（2）特征矩陣為
7-λ-9
6-8-λ
，特征多項式為（7-λ）（-8-λ）-54，即λ2+λ-2…（8分）
解方程λ2+λ-2=0，求得特征值λ1=1，λ2=-2                    …（9分）
當(dāng)λ=1時，對應(yīng)的特征向量為X1=
3
2

當(dāng)λ=-2時，對應(yīng)的特征向量為X2=
1
1
，…（10分）
設(shè)
-61
-41
=m
3
2
+n
1
1
，解此方程組得m=-20，n=-1    …（11分）
∴A11×
-61
-41
=（-20）×111×
3
2
+（-1）×（-2）11
1
1
=
-60+2048
-40+2048
=
1988
2008
．
點評：本小題主要考查特征值與特征向量的計算、系數(shù)矩陣的逆矩陣解方程組等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．
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