Question

某人從林蔭中街乘車去天府廣場，若途經(jīng)各路口遇紅燈都是獨(dú)立的，且在同一路段最多一個紅燈，概率如圖所示，
（1）請設(shè)計一條由林蔭中街到天府廣場的路線，使得途中遇見紅燈概率最小．
（2）若記路線：林蔭中街--新南門--錦江賓館--天府廣場中遇到紅燈的個數(shù)為隨機(jī)變量ξ，求ξ的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）因為途經(jīng)各路口遇紅燈事件都是獨(dú)立的，且在同一路口遇紅燈事件最多只有一次，所以線路林蔭中街--新南門--鹽市口--天府廣場中遇到紅燈的概率P₁可以做出，路線林蔭中街--新南門--錦江賓館--天府廣場中遇到紅燈的概率，路線林蔭中街--林蔭街--錦江賓館--天府廣場中遇到紅燈的概率，進(jìn)行比較得到結(jié)果．
（2）路線：林蔭中街--新南門--錦江賓館--天府廣場中遇到紅燈的個數(shù)ξ可取0，1，2，3，結(jié)合變量對應(yīng)的事件，寫出變量的分布列和期望．

解答：解：線路林蔭中街--新南門--鹽市口--天府廣場中遇到紅燈的概率P₁為：

P₁=1-

9

10

×

14

15

×

5

6

=

3

10

…（2分）
同理：路線林蔭中街--新南門--錦江賓館--天府廣場中遇到紅燈的概率P₂為：
P₂=1-

9

10

×

17

20

×

11

12

=

239

800

（小于

3

10

）…（4分）
同理：路線林蔭中街--林蔭街--錦江賓館--天府廣場中遇到紅燈的概率P₃=

91

300

（大于

3

10

）．
所以選擇路線林蔭中街--新南門--錦江賓館--天府廣場遇紅燈的概率最�。�…（6分）
（2）路線：林蔭中街--新南門--錦江賓館--天府廣場中遇到紅燈的個數(shù)ξ可取0，1，2，3；
P（ξ=0）=

561

800

，
P（ξ=1）=

1

10

×

17

10

×

11

12

+

9

10

×

3

20

×

11

12

+

9

10

×

17

20

×

1

12

=

637

2400

，
P（ξ=2）=

1

10

×

3

20

×

11

12

+

1

10

×

17

20

×

1

12

+

9

10

×

3

20

×

1

12

=

77

2400

，
P（ξ=3）=

1

10

×

3

20

×

1

12

=

3

2400

．
∴Eξ=1×

637

2400

+2×

77

2400

+3×

3

2400

=

1

3

 …（9分）         
答：路線林蔭中街--新南門--錦江賓館--天府廣場中遇到紅燈的個數(shù)的數(shù)學(xué)期望是

1

3

…（12分）

點(diǎn)評：本題考查離散型隨機(jī)變量的期望問題，以及相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率，同時考查了計算能力，屬于中檔題．