Question

已知函數(shù)f（x）=sin（ωx-

π

6

）（ω＞0）和g（x）=cos（2x+φ）（0＜φ＜π）的圖象的對稱軸相同．
（1）求滿足題意的ω，φ的值；
（2）求F（x）=f（x）-g（x）的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

考點：正弦函數(shù)的單調(diào)性,正弦函數(shù)的對稱性

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）根據(jù)兩個函數(shù)的周期性同求出ω，當(dāng)2x-

π

6

=

π

2

時，f（x）取得最大值，此時，g（x）=cos（

2π

3

+φ）取得最大值或最小值，結(jié)合φ的范圍，求出φ的值．
（2）由（1）利用三角函數(shù)的恒等變換可得F（x）=2sin（2x-

π

6

），再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)F（x）的增區(qū)間．

解答： 解：（1）由題意可得兩個函數(shù)f（x） 和g（x）的周期一樣，∴

2π

ω

=

2π

2

，∴ω=2，∴函數(shù)f（x）=sin（2x-

π

6

）．
當(dāng)2x-

π

6

=

π

2

，即x=

π

3

時，f（x）取得最大值，此時，g（x）=cos（

2π

3

+φ）取得最大值或最小值，
∴

2π

3

+φ=kπ，k∈z．
結(jié)合0＜φ＜π，可得φ=

π

3

．
綜上可得，ω=2，φ=

π

3

．
（2）由（1）可得f（x）=sin（2x-

π

6

），g（x）=cos（2x+

π

3

），
F（x）=f（x）-g（x）=sin（2x-

π

6

）-cos（2x+

π

3

）=sin2xcos

π

6

-cos2xsin

π

6

-cos2xcos

π

3

+sin2xsin

π

3

=

3

sin2x-cos2x=2sin（2x-

π

6

）．
令2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，可得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，
故函數(shù)F（x）的增區(qū)間為[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈z．

點評：本題主要考查三角函數(shù)的圖象的對稱性，三角函數(shù)的恒等變換，正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．