Question

8．在△ABC中，若|$\overrightarrow{AB}$|=1，|$\overrightarrow{AC}$|=$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BC}$|，$\frac{2\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BC}|}$=1．

Answer 1

分析 利用|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BC}$|=|$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$|可知∠A=90°，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論．

解答 解：∵|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BC}$|，
∴${\overrightarrow{AB}}^{2}$+2$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$+${\overrightarrow{AC}}^{2}$=${\overrightarrow{BC}}^{2}$=$（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）^{2}$=${\overrightarrow{AB}}^{2}$-2$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$+${\overrightarrow{AC}}^{2}$，
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=0，即∠A=90°，
又∵|$\overrightarrow{AB}$|=1，|$\overrightarrow{AC}$|=$\sqrt{3}$，
∴$|\overrightarrow{BC}|$=$\sqrt{|\overrightarrow{AB}{|}^{2}+|\overrightarrow{AC}{|}^{2}}$=2，
∴cos∠B=$\frac{|\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{BC}|}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{2\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BC}|}$=$\frac{2|\overrightarrow{BA}|•|\overrightarrow{BC}|•cos∠B}{|\overrightarrow{BC}|}$=2$•\frac{1}{2}•$|$\overrightarrow{BA}$|=1，
故答案為：1．

點(diǎn)評 本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，找出∠A=90°是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于基礎(chǔ)題．