Question

對正整數(shù)n，設(shè)曲線y=xⁿ（1-x）在x=2處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為a_n．
（i）a_n=

（n+1）2ⁿ

；
（ii）數(shù)列{

a n

n+1

}的前n項(xiàng)和S_n=

2ⁿ⁺¹-2

．

Answer 1

分析：（i）求出在x=2處的切線方程，進(jìn)而得到切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)；
（ii）數(shù)列{

a n

n+1

}是等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的求和公式計(jì)算，從而問題解決．

解答：解：（i）求導(dǎo)函數(shù)可得y'=nx^n-1-（n+1）xⁿ，
曲線y=xⁿ（1-x）在x=2處的切線的斜率為k=n×2^n-1-（n+1）×2ⁿ
∵切點(diǎn)為（2，-2ⁿ），
∴切線方程為y+2ⁿ=k（x-2），
令x=0，并將k代入可得a_n=（n+1）2ⁿ，
（ii）令b_n=

a n

n+1

=2ⁿ．
∴數(shù)列{

a n

n+1

}的前n項(xiàng)和為2+2²+2³+…+2ⁿ=

2(1-2n)

1-2

=2ⁿ⁺¹-2．
故答案為：（n+1）2ⁿ，2ⁿ⁺¹-2．

點(diǎn)評：本題考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求曲線切線的斜率，數(shù)列通項(xiàng)公式以及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式．