精英家教網(wǎng)如圖所示，在橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a＞b＞0)中，A為橢圓左頂點，B為橢圓上頂點，F(xiàn)為橢圓右焦點．
（I）若△ABF為等腰三角形，且BF=2，求橢圓方程；
（II）若△ABF為鈍角三角形，求橢圓離心率的取值范圍．
分析：（I）先由題意可知AB=
a2+b2
＞a，AF=a+c＞a，BF=a，因為△ABF為等腰三角形，得到
a2+b2
=a+c從而解得c=
3
-1最后根據(jù)a，b，c 的關(guān)系求得a，b的值，寫出橢圓方程；（
（II）由題意可知，∠ABF為鈍角，由余弦定理可知，(
a2+b2
)2+a2-(a+c)2＜0轉(zhuǎn)化為：e2+e-1＞0，解之即可得到橢圓離心率取值范圍．
解答：解：（I）由題意可知AB=
a2+b2
＞a，AF=a+c＞a，BF=a，
因為△ABF為等腰三角形，所以AB=AF，即
a2+b2
=a+c．（3分）
兩邊平方，得a2+b2=（a+c）2，整理得a2-2ac-2c2=0
因為a=BF=2，解得c=
3
-1，（6分）b2=a2-c2=2
3
，
所以橢圓方程為
x2
4
+
y2
2
3
=1．（8分）
（II）若△ABF為鈍角三角形，由題意可知，∠ABF為鈍角，（10分）
由余弦定理可知，(
a2+b2
)2+a2-(a+c)2＜0，（12分）
整理得，a2-ac-c2＜0，即e2+e-1＞0，
解得e＞
-1+
5
2
或e＜
-1-
5
2
，（14分）
又因為0＜e＜1，所以橢圓離心率取值范圍是
-1+
5
2
＜e＜1．（16分）
點評：本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是通過挖掘題設(shè)信息找到a和c的關(guān)系．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)設(shè)b＞0，橢圓方程為
x2
2b2
+
y2
b2
=1，拋物線方程為x2=8（y-b）．如圖所示，過點F（0，b+2）作x軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點為G，已知拋物線在點G的切線經(jīng)過橢圓的右焦點F1．
（1）求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程；
（2）設(shè)A，B分別是橢圓長軸的左、右端點，試探究在拋物線上是否存在點P，使得△ABP為直角三角形？若存在，請指出共有幾個這樣的點？并說明理由（不必具體求出這些點的坐標(biāo)）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，點N在圓x2+y2=4上運動，DN⊥x軸，點M在DN的延長線上，且
DM
=λ
DN
（λ＞0）．
（1）求點M的軌跡方程，并求當(dāng)λ為何值時M的軌跡表示焦點在x軸上的橢圓；
（2）當(dāng)λ=
1
2
時，（1）所得曲線記為C，已知直線l：
x
2
+y=1，P是l上的動點，射線OP（O為坐標(biāo)原點）交曲線C于點R，又點Q在OP上且滿足|OQ|•|OP|=|OR|2，求點Q的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，橢圓C：
 x2   
b2
+
y2    
a2
=1(a＞b＞0)的焦點為F1（0，c），F(xiàn)2（0，-c）（c＞0），拋物線x2=2py（p＞0）的焦點與F1重合，過F2的直線l與拋物線P相切，切點在第一象限，且與橢圓C相交于A，B兩點，且
F2B
=λ
AF2
．
（1）求證：切線l的斜率為定值；
（2）當(dāng)λ∈[2，4]時，求橢圓的離心率e的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：廣東省高考真題 題型：解答題

設(shè)b＞0，橢圓方程為，拋物線方程為x2=8（y-b），如圖所示，過點F(0，b+2)作x軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點為G，已知拋物線在點G的切線經(jīng)過橢圓的右焦點F1，
（1）求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程；
（2）設(shè)A，B分別是橢圓長軸的左、右端點，試探究在拋物線上是否存在點P，使得△ABP為直角三角形？若存在，請指出共有幾個這樣的點？并說明理由（不必具體求出這些點的坐標(biāo)）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2008年廣東省高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

設(shè)b＞0，橢圓方程為，拋物線方程為x2=8（y-b）．如圖所示，過點F（0，b+2）作x軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點為G，已知拋物線在點G的切線經(jīng)過橢圓的右焦點F1．
（1）求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程；
（2）設(shè)A，B分別是橢圓長軸的左、右端點，試探究在拋物線上是否存在點P，使得△ABP為直角三角形？若存在，請指出共有幾個這樣的點？并說明理由（不必具體求出這些點的坐標(biāo)）．

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同步練習(xí)冊答案