Question

已知橢圓C₁，拋物線C₂的焦點均在x軸上，C₁的中心和C₂的頂點均為原點O，從每條曲線上取兩個點，將其坐標記錄于表中：

x	3	-2	4	3
y	-2 3	0	-4	1 2

（1）求C₁、C₂的標準方程；
（2）請問是否存在直線l滿足條件：①過C₂的焦點F；②與C₁交不同兩點M、N，且滿足

OM

⊥

ON

？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：圓錐曲線的共同特征

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設拋物線C₂：y²=2px（p≠0），則有

y2

x

=2p（x≠0），據(jù)此驗證4個點知（3，2

3

）、（4，-4）在拋物線上，易求C₂：y²=4x，設C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，把點（-2，0）（

2

，

2

2

）代入得：

4 a2 =1 2 a2 + 1 2b2 =1

，由此能夠求出C₁方程．
（2）容易驗證直線l的斜率不存在時，不滿足題意；當直線l斜率存在時，假設存在直線l過拋物線焦點F（1，0），設其方程為y=k（x-1），與C₁的交點坐標為M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由y=k（x-1）代入橢圓方程消掉y，得（1+4k²）x²-8k²x+4（k²-1）=0，再由韋達定理能夠?qū)С龃嬖谥本�l滿足條件，且l的方程為：y=2x-2或y=-2x+2．

解答： 解：（1）設拋物線C₂：y²=2px（p≠0），則有

y2

x

=2p（x≠0），據(jù)此驗證4個點知（3，-2

3

）、（4，-4）在拋物線上，易求C₂：y²=4x（2分）
設C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，把點（-2，0）（

2

，

2

2

）代入得：

4 a2 =1 2 a2 + 1 2b2 =1

解得a=2，b=1
∴C₁方程為

x2

4

+y2=1；
（2）容易驗證直線l的斜率不存在時，不滿足題意；（6分）
當直線l斜率存在時，假設存在直線l過拋物線焦點F（1，0），
設其方程為y=k（x-1），與C₁的交點坐標為M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
由y=k（x-1）代入橢圓方程，消掉y，得（1+4k²）x²-8k²x+4（k²-1）=0，（8分）
于是x₁+x₂=

8k2

1+4k2

，x₁x₂=

4(k2-1)

1+4k2

①
y₁y₂=k（x₁-1）×k（x₁-1）=k²[x₁x₂-（x₁+x₂）+1]=-

3k2

1+4k2

②（10分）
由

OM

⊥

ON

，得x₁x₂+y₁y₂=0（*），
將①、②代入（*）式，得

4(k2-1)

1+4k2

-

3k2

1+4k2

=0，解得k=±2；（11分）
所以存在直線l滿足條件，且l的方程為：y=2x-2或y=-2x+2．（12分）．

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．