Question

某企業(yè)原來(lái)每年可生產(chǎn)某種設(shè)備65件，每件設(shè)備的銷售價(jià)格為10萬(wàn)元，為了增加企業(yè)效益，該企業(yè)今年準(zhǔn)備投入資金x萬(wàn)元對(duì)生產(chǎn)工藝進(jìn)行革新，已知每投入10萬(wàn)元資金生產(chǎn)的設(shè)備就增加1件，同時(shí)每件設(shè)備的生產(chǎn)成本a萬(wàn)元與投入資金x萬(wàn)元之間的關(guān)系是a=

25

x+25

，若設(shè)備的銷售價(jià)格不變，生產(chǎn)的設(shè)備能全部賣出，投入資金革新后的年利潤(rùn)為y萬(wàn)元（年利潤(rùn)=年銷售額-年投入資金額-年生產(chǎn)成本）．
（Ⅰ）試將該企業(yè)的年利潤(rùn)y萬(wàn)元表示為投入資金x萬(wàn)元的函數(shù)；
（Ⅱ）該企業(yè)投入資金為多少萬(wàn)元時(shí)，企業(yè)的年利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn)．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）先求出生產(chǎn)成本，再將該企業(yè)的年利潤(rùn)y萬(wàn)元表示為投入資金x萬(wàn)元的函數(shù)；
（Ⅱ）利用基本不等式求最值即可得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）由題意，投入資金x萬(wàn)元資金革新后生產(chǎn)設(shè)備（65+

1

10

x）件，
∴生產(chǎn)成本為

25

x+25

•（65+

1

10

x）萬(wàn)元，
∴該企業(yè)的年利潤(rùn)y=（65+

1

10

x）×10-x-

25

x+25

•（65+

1

10

x）=650-

5(x+650)

2 x+25

（x≥0）；
（Ⅱ）∵

x+650

x+25

=

x+25

+

625

x+25

≥2

625

=50，
當(dāng)且僅當(dāng)

x+25

=

625

x+25

，即x=600時(shí)取等號(hào)，
∴y=650-

5(x+650)

2 x+25

≤650-

5

2

×50=525，
∴該企業(yè)投入資金為600萬(wàn)元時(shí)，企業(yè)的年利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為525萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)解析式的確定，考查函數(shù)的最值，確定函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．