Question

已知二次函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镽，f（1）=2，在x=t處取得最值，若y=g（x）為一次函數(shù)，且f（x）+g（x）=x²+2x-3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若x∈[-1，2]時(shí)，f（x）≥-1恒成立，求t的取值范圍．

Answer 1

（1）設(shè)f（x）=a（x-t）²+b，
∵f（1）=2，∴a（1-t）²+b=2．
又f（x）+g（x）=x²+2x-3，g（x）為一次函數(shù)，
∴a=1，則b=2-（1-t）²，
∴f（x）=（x-t）²+2-（1-t）²=（x-t）²-t²+2t+1．
（2）①若t＜-1時(shí)，
要使f（x）≥-1恒成立，只需f（-1）≥-1，
即t≥-

3

4

，這與t＜-1矛盾；
②-1≤t≤2時(shí)，要使f（x）≥-1恒成立，
只需f（t）≥-1，即-t²+2t+1≥-1，
即1-

3

≤t≤1+

3

，∴1-

3

≤t≤2；
③若t＞2時(shí)，要使f（x）≥-1恒成立，
只需f（2）≥-1，即t≤3，∴2＜t≤3，
綜上所述t的取值范圍是[1-

3

，3]．