Question

已知四面體ABCD，AD=CD，∠ADB=∠CDB=120°，且平面ABD⊥平面BCD．
（Ⅰ）求證：BD⊥AC；
（Ⅱ）求直線CA與平面ABD所成角的大�。�

Answer 1

考點：直線與平面所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由題設(shè)條件推導(dǎo)出△ADB≌△CDB，由此證明AC⊥平面BDM，從而得到AC⊥BD．
（Ⅱ）過點C作CH⊥BD交BD延長線于H，連結(jié)HA，由已知條件推導(dǎo)出∠CAH為CA與平面BAD所成角，由此能求出直線CA與平面ABD所成角的大小．

解答： （Ⅰ）證明：∵AD=DC，∠ADB=∠CDB=120°，BD=BD
∴△ADB≌△CDB
∴AB=BC，取AC中點M，
則MB⊥AC，DM⊥AC
∴AC⊥平面BDM，
∴AC⊥BD．
（Ⅱ）解：過點C作CH⊥BD交BD延長線于H，連結(jié)HA，
∵平面ABD⊥平面BCD，∴CH⊥平面BAD，
∴∠CAH為CA與平面BAD所成角，
∵DC=AD，∠ADH=∠CDH=60°，DH=DH，
∴△HAD≌△CDHk，
∴AH=HC
∴在Rt△HAC中，∠HAC=45°
∴直線CA與平面ABD所成角的大小為45°．

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查直線與平面所成的角的求法，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)，合理地化空間問題為平面問題．