Question

已知點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F₁且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，若△ABF₂是鈍角三角形，則該雙曲線離心率的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由題意利用雙曲線的對(duì)稱性，可知△ABC為等腰三角形，所以△ABF₂為鈍角三角形．因此只要∠AF₂B為鈍角即可，由此建立關(guān)于a、b、c的不等式，解之即可得出該雙曲線離心率的取值范圍．

解答： 解：根據(jù)題意，可得|AB|=

2b2

a

，|F₁F₂|=2c，
由雙曲線的對(duì)稱性，可知△ABF₂為等腰三角形，
只要∠AF₂B為鈍角，即|AF₁|＞|F₁F₂|即可．
∴不等式

b2

a

＞2c，化簡(jiǎn)得c²-a²＞2ac，
兩邊都除以a²，可得e²-2e-1＞0
解之得e∈(1+

2

，+∞)，負(fù)值舍去．
故答案為：(1+

2

，+∞)

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的離心率和鈍角三角形的判斷等知識(shí)，在解題過(guò)程中要注意隱含條件的挖掘，本題屬于中檔題．