Question

已知圓C₁的方程為(x+1)²+y²=16，圓C₂的方程為（x-1）²+y²=4，動(dòng)圓P經(jīng)過圓C₂的圓心且與圓C₁相內(nèi)切.

（1）求動(dòng)圓P的圓心的軌跡C的方程；

（2）設(shè)M、N是（1）中的軌跡C上的兩點(diǎn)，若+2=3，其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線MN的方程.

Answer 1

解：（1）根據(jù)已知，動(dòng)圓P的半徑小于⊙C₁的半徑，∴|PC₁|+|PC₂|=4＞|C₁C₂|.?

由橢圓的定義知點(diǎn)P的軌跡C是以C₁（-1，0）、C₂（1，0）為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓.

?

∴P的軌跡C的方程為=1.                                                                        ?

（2）設(shè)M（x₁,y₁）,N(x₂,y₂),?

∵M、N是C上兩點(diǎn)，?

∴3x₁²+4y₁²=12,                                                                                         ①?

3x₂²+4y₂²=12.                                                                                            ②?

又+2=3，∴x₁+2x₂=-3,                                                          ③?

y₁+2y₂=0.                                                                                                   ④　?

由①②③④，得x₂=-,y₂=±.?

∴直線MN的斜率k===-y₂.                                                         ?

當(dāng)y₂=時(shí)，k=-,直線MN的方程為y=-(x+1);?

當(dāng)y₂=-時(shí)，k=,直線MN的方程為y=(x+1),

∴直線MN的方程y=±(x+1).