已知G為△ABC內(nèi)一點(diǎn),且
AB
+
AC
=3
AG

(1)化簡
AG
+
BG
+
CG
;
(2)若O為平面內(nèi)不同于G的任意一點(diǎn),求證:
OG
=
1
3
OA
+
OB
+
OC
).
分析:(1)由G為△ABC內(nèi)一點(diǎn),且
AB
+
AC
=3
AG
.可得點(diǎn)G為△ABC的重心.利用重心的性質(zhì)即可得出.
(2)由(1)可得
AG
+
BG
+
CG
=
0
.可得
OG
-
OA
+
OG
-
OB
+
OG
-
OC
=
0
,化簡即可.
解答:(1)解:∵G為△ABC內(nèi)一點(diǎn),且
AB
+
AC
=3
AG
精英家教網(wǎng)
∴點(diǎn)G為△ABC的重心.
AG
+
BG
+
CG
=
1
3
(
AB
+
AC
)
+
1
3
(
BA
+
BC
)
+
1
3
(
CA
+
CB
)
=
0

(2)證明:由(1)可得
AG
+
BG
+
CG
=
0

OG
-
OA
+
OG
-
OB
+
OG
-
OC
=
0
,
化為
OG
=
1
3
(
OA
+
OB
+
OC
)
點(diǎn)評:本題考查了三角形的重心定理的性質(zhì)、向量的運(yùn)算法則,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知△ABC中,∠C=
π
2
.設(shè)∠CBA=θ,BC=a,它的內(nèi)接正方形DEFG的一邊EF在斜邊AB上,D、G分別在AC、BC上.假設(shè)△ABC的面積為S,正方形DEFG的面積為T.
(1)用a,θ表示△ABC的面積S和正方形DEFG的面積T;
(2)設(shè)f(θ)=
T
S
,試求f(θ)的最大值P,并判斷此時(shí)△ABC的形狀;
(3)通過對此題的解答,我們是否可以作如下推斷:若需要從一塊直角三角形的材料上裁剪一整塊正方形(不得拼接),則這塊材料的最大利用率要視該直角三角形的具體形狀而定,但最大利用率不會(huì)超過第(2)小題中的結(jié)論P(yáng).請分析此推斷是否正確,并說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2006•朝陽區(qū)一模)已知矩形ABCD中,AB=
2
,AD=1
,將△ABD沿BD折起,使點(diǎn)A在平面BCD內(nèi)的射影落在DC上,E、F、G分別為棱BD、AD、AB的中點(diǎn).
(1)求證:DA⊥平面ABC;
(2)求點(diǎn)C到平面ABD的距離;
(3)求二面角G-FC-E的大。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2010•臺(tái)州一模)已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c和“偽二次函數(shù)”g(x)=ax2+bx+clnx(a、b、c∈R,abc≠0),
(I)證明:只要a<0,無論b取何值,函數(shù)g(x)在定義域內(nèi)不可能總為增函數(shù);
(Ⅱ)在二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c圖象上任意取不同兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0,記直線AB的斜率為k,(i)求證:k=f′(x0);(ii)對于“偽二次函數(shù)”g(x)=ax2+bx+clnx,是否有(i)同樣的性質(zhì)?證明你的結(jié)論.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年江蘇省高三下學(xué)期開學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷 題型:解答題

(本小題滿分14分)如圖,已知四面體ABCD的四個(gè)面均為銳角三角形,E、F、G、H分別為邊AB、BC、CD、DA上的點(diǎn),BD∥平面EFGH,且EH=FG.

 

 

(1) 求證:HG∥平面ABC;

(2) 請?jiān)诿鍭BD內(nèi)過點(diǎn)E作一條線段垂直于AC,并給出證明.

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013屆山西省晉商四校高二下學(xué)期聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

已知直三棱柱中, , , 的交點(diǎn), 若.

(1)求的長;  (2)求點(diǎn)到平面的距離;

(3)求二面角的平面角的正弦值的大小.

【解析】本試題主要考查了距離和角的求解運(yùn)用。第一問中,利用ACCA為正方形, AC=3

第二問中,利用面BBCC內(nèi)作CDBC, 則CD就是點(diǎn)C平面ABC的距離CD=,第三問中,利用三垂線定理作二面角的平面角,然后利用直角三角形求解得到其正弦值為

解法一: (1)連AC交AC于E, 易證ACCA為正方形, AC=3 ……………  5分

(2)在面BBCC內(nèi)作CDBC, 則CD就是點(diǎn)C平面ABC的距離CD= … 8分

(3) 易得AC面ACB, 過E作EHAB于H, 連HC, 則HCAB

CHE為二面角C-AB-C的平面角. ………  9分

sinCHE=二面角C-AB-C的平面角的正弦大小為 ……… 12分

解法二: (1)分別以直線CB、CC、CA為x、y為軸建立空間直角坐標(biāo)系, 設(shè)|CA|=h, 則C(0, 0, 0), B(4, 0, 0), B(4, -3, 0), C(0, -3, 0), A(0, 0, h), A(0, -3, h), G(2, -, -) ………………………  3分

=(2, -, -), =(0, -3, -h(huán))  ……… 4分

·=0,  h=3

(2)設(shè)平面ABC得法向量=(a, b, c),則可求得=(3, 4, 0) (令a=3)

點(diǎn)A到平面ABC的距離為H=||=……… 8分

(3) 設(shè)平面ABC的法向量為=(x, y, z),則可求得=(0, 1, 1) (令z=1)

二面角C-AB-C的大小滿足cos== ………  11分

二面角C-AB-C的平面角的正弦大小為

 

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