Question

已知f（x）是R上的可導(dǎo)函數(shù)．
（1）f（-x）在x=a處的導(dǎo)數(shù)值與f（x）在x=-a處的導(dǎo)數(shù)值有什么關(guān)系？
（2）若f（x）為偶函數(shù)，f′（x）的奇偶性如何？

Answer 1

分析：（1）用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求f（-x）的導(dǎo)數(shù)，再求在x=a處的導(dǎo)數(shù)值．
（2）函數(shù)在某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的定義求f′（-x），由奇函數(shù)、偶函數(shù)定義得解．

解答：解：（1）∵f（-x）的導(dǎo)數(shù)為-f′（-x）
∴f（-x）在x=a處的導(dǎo)數(shù)值為-f′（-a）
又f（x）在x=-a處的導(dǎo)數(shù)值為f′（-a）
故f（-x）在x=a處的導(dǎo)數(shù)值與f（x）在x=-a處的導(dǎo)數(shù)值互為相反數(shù)．
（2）因?yàn)閒（x）為偶函數(shù)，
所以f′（-x）=

lim

△x→0

f(-x+△x)-f(-x)

△x

=-

lim

-△x→0

f(x-△x)-f(x)

-△x

=-f′（x）．
所以f′（x）為奇函數(shù)

點(diǎn)評：考查函數(shù)f（-x）在x=a處的導(dǎo)數(shù)值不是f′（-a），函數(shù)在某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)值的定義．