Question

（本小題滿(mǎn)分12分）

已知平面向量a=，b=

（1）證明ab；

（2）若存在實(shí)數(shù)k，t，使x=a+b，y=-ka+tb，且xy，試求k，t的函數(shù)關(guān)系式;

（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，討論關(guān)于t的方程的解的情況。

 

Answer 1

【答案】

 

（1）   略

（2）   k=

（3）

時(shí)，直線k=m與曲線僅有一個(gè)交點(diǎn)，則方程有一解；

當(dāng)時(shí)，直線k=m與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則方程有兩解；

當(dāng)時(shí)，直線k=m與曲線有三個(gè)交點(diǎn)，則方程有三個(gè)解。

【解析】解（1）a·b=0，ab。

（2）xy， x·y=0，即〔a+b〕·(—ka+tb)=0

整理得-ka²+〔t­ -k〕a·b+tb²=0

 a·b=0，a² =4，b²=1。上式化為-4k+ t =0，k=

(3)討論方程的解得情況，可以看做曲線與直線k=m的交點(diǎn)個(gè)數(shù)。

于是。

令，解得，當(dāng)變化時(shí)，、的變化情況如下表：

				１
		0	－	０	＋

當(dāng)時(shí)，有極大值，極大值為。

當(dāng)時(shí)，有極小值，極小值為。

而時(shí)，得。  所以的圖像大致如圖所示

于是時(shí)，直線k=m與曲線僅有一個(gè)交點(diǎn)，則方程有一解；

當(dāng)時(shí)，直線k=m與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則方程有兩解；

當(dāng)時(shí)，直線k=m與曲線有三個(gè)交點(diǎn)，則方程有三個(gè)解。