Question

4．若偶函數(shù)y=f（x）（x∈R）滿足f（1+x）=f（1-x），且當(dāng)x∈[-1，0]時，f（x）=x²，則函數(shù)g（x）=f（x）-|lgx|的零點個數(shù)為10個．

Answer 1

分析 運用函數(shù)的對稱性和奇偶性，確定函數(shù)y=f（x）的周期，構(gòu)造函數(shù)y=f（x），h（x）=|lgx|，則函數(shù)g（x）=f（x）-|lgx|的零點問題轉(zhuǎn)化為圖象的交點問題，結(jié)合圖象，即可得到結(jié)論．

解答 解：∵偶函數(shù)y=f（x）（x∈R）滿足f（1+x）=f（1-x），
即函數(shù)f（x）關(guān)于x=1對稱，即有f（x+2）=f（-x）=f（x），
則函數(shù)y=f（x）的周期為2，
構(gòu)造函數(shù)y=f（x），h（x）=|lgx|，畫出它們的圖象，
則函數(shù)g（x）=f（x）-|lgx|的零點問題轉(zhuǎn)化為圖象的交點問題，由于f（x）的最大值為1，
所以x＞10時，圖象沒有交點，在（0，1）上有一個交點，
（1，3），（3，5），（5，7），（7，9）上各有兩個交點，在（9，10）上有一個交點，故共有10個交點，
即函數(shù)零點的個數(shù)為10．
故答案為：10．

點評 本題的考點是函數(shù)零點與方程根的關(guān)系，主要考查函數(shù)零點的定義，關(guān)鍵是正確作出函數(shù)圖象，注意掌握周期函數(shù)的一些常見結(jié)論：若f（x+a）=f（x），則周期為a；若f（x+a）=-f（x），則周期為2a等．