Question

10．下列不等式在給定區(qū)間上不恒成立的是（　�。�

• A． （x+1）cosx＜1，x∈（0，π）
• B． e${\;}^{{x}^{2}}$＞1+x²，x∈（0，+∞）
• C． sinx+tanx＞2x，x∈（0，$\frac{π}{2}$）
• D． lnx+e^x＞x$-\frac{1}{x}$+2，x∈（0，+∞）

Answer 1

分析 對(duì)于A，可舉x=$\frac{π}{3}$∈（0，π），檢驗(yàn)不等式即可判斷；對(duì)于B，構(gòu)造t=x²（t＞0），f（t）=e^t-1-t，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性即可得到；對(duì)于C，令f（x）=sinx+tanx-2x（0＜x＜π），求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，即可得到結(jié)論；對(duì)于D，lnx+e^x＞x$-\frac{1}{x}$+2，即為lnx+$\frac{1}{x}$＞x+2-e^x，（x＞0），設(shè)f（x）=lnx+$\frac{1}{x}$，g（x）=x+2-e^x，分別求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，求得最值，即可判斷．

解答 解：對(duì)于A，可舉x=$\frac{π}{3}$∈（0，π），可得（x+1）cosx=（1+$\frac{π}{3}$）×$\frac{1}{2}$＞1，即有A不恒成立；
對(duì)于B，可令t=x²（t＞0），由f（t）=e^t-1-t的導(dǎo)數(shù)為f′（t）=e^t-1＞0，即為f（t）在t＞0遞增，
即有f（t）＞f（0）=0，則原不等式恒成立；
對(duì)于C，令f（x）=sinx+tanx-2x（0＜x＜π），f′（x）=cosx+sec²x-2=cosx+$\frac{1}{co{s}^{2}x}$-2，
設(shè)t=cosx（0＜t＜1），則g（t）=t+t^-2-2，g′（t）=1-2t^-3＜0，g（t）在（0，1）遞減，即有g(shù)（t）＞g（1）=0，
則f（x）＞0恒成立；
對(duì)于D，lnx+e^x＞x$-\frac{1}{x}$+2，即為lnx+$\frac{1}{x}$＞x+2-e^x，（x＞0），
設(shè)f（x）=lnx+$\frac{1}{x}$，g（x）=x+2-e^x，f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）遞增，0＜x＜1時(shí)，f（x）遞減，
即有x=1處f（x）取得最小值1；g（x）的導(dǎo)數(shù)為g′（x）=1-e^x，
當(dāng)x＞0時(shí)，g′（x）＜0，即有g(shù)（x）＜1，故原不等式恒成立．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式恒成立問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性求得最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．