【題目】已知橢圓的離心率為
,
,
分別是其左、右焦點,且過點
.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若在直線上任取一點
,從點
向
的外接圓引一條切線,切點為
.問是否存在點
,恒有
?請說明理由.
【答案】(1) (2)
,或
【解析】
(1)求出后可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)先求出的外接圓的方程,設(shè)
點為
點為
,則由
可得
對任意的
恒成立,故可得關(guān)于
的方程,從而求得
的坐標(biāo).
解:(1)因為橢圓的離心率為
,所以
. ①
又橢圓過點
,所以代入得
. ②
又. ③
由①②③,解得.所以橢圓
的標(biāo)準(zhǔn)方程為
.
(2)由(1)得,,
的坐標(biāo)分別是
.
因為的外接圓的圓心一定在邊
的垂直平分線上,
即的外接圓的圓心一定在
軸上,
所以可設(shè)的外接圓的圓心為
,半徑為
,圓心
的坐標(biāo)為
,
則由及兩點間的距離公式,得
,
解得.
所以圓心的坐標(biāo)為
,半徑
,
所以的外接圓的方程為
,即
.
設(shè)點為
點為
,因為
,
所以,
化簡,得,
所以,消去
,得
,
解得或
.
當(dāng)時,
;
當(dāng)時,
.
所以存在點,或
滿足條件.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)數(shù)列的前
項和為
,已知
,
,
成等差數(shù)列,且
,
.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)記,
,證明:
,
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點A(1,0),動點M滿足以MA為直徑的圓與y軸相切.過A作直線x+(m﹣1)y+2m﹣5=0的垂線,垂足為B,則|MA|+|MB|的最小值為( )
A.2B.2
C.
D.3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】過直線y=﹣1上的動點A(a,﹣1)作拋物線y=x2的兩切線AP,AQ,P,Q為切點.
(1)若切線AP,AQ的斜率分別為k1,k2,求證:k1k2為定值.
(2)求證:直線PQ過定點.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某廣告商租用了一塊如圖所示的半圓形封閉區(qū)域用于產(chǎn)品展示,該封閉區(qū)域由以為圓心的半圓及直徑
圍成.在此區(qū)域內(nèi)原有一個以
為直徑、
為圓心的半圓形展示區(qū),該廣告商欲在此基礎(chǔ)上,將其改建成一個凸四邊形的展示區(qū)
,其中
、
分別在半圓
與半圓
的圓弧上,且
與半圓
相切于點
.已知
長為40米,設(shè)
為
.(上述圖形均視作在同一平面內(nèi))
(1)記四邊形的周長為
,求
的表達式;
(2)要使改建成的展示區(qū)的面積最大,求
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如果方程y|y|=1所對應(yīng)的曲線與函數(shù)y=f(x)的圖象完全重合,那么對于函數(shù)y=f(x)有如下結(jié)論:
①函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減;
②y=f(x)的圖象上的點到坐標(biāo)原點距離的最小值為1;
③函數(shù)f(x)的值域為(﹣∞,2];
④函數(shù)F(x)=f(x)+x有且只有一個零點.
其中正確結(jié)論的序號是_____.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
.
(1)當(dāng)時,討論函數(shù)
的單調(diào)性;
(2)當(dāng),
時,對任意
,有
成立,求實數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,過點P(1,2)的直線l的參數(shù)方程為為參數(shù)).以原點O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為
.
(1)求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程;
(2)若直線l與曲線C相交于M,N兩點,求的值.
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