Question

【題目】已知函數

（1）若為單調增函數，求實數的值；

（2）若函數無最小值，求整數的最小值與最大值之和.

Answer 1

【答案】（1）.（2）

【解析】

（1）求出，再令，求出兩個根，函數為單調函數，所以有兩個相同的根，得到，再進行檢驗即可；

（2）由得，或和，分別當、和三種情況進行討論；時不成立，時成立，時，利用函數單調性，當無最小值時，，構造關于的函數，求出的范圍，即可得到答案.

（1） 由題意，，

，解得，或，

因為函數為單調函數，所以有兩個相同的根，即，

時，，為增函數，故適合題意；

（2）由（1）知，，解得，或，

①當時，則在上為減函數，

在上為增函數，

當時，有最小值，

故不適合題意；

②當時，則在上為增函數，

在上為增函數，

在上為增函數，無最小值，故適合題意；

③當時，則在上為增函數，

在上為減函數，

在上為增函數，

因為無最小值，

所以，

，

由在上恒成立，

在上單調遞增，

且 存在唯一的實根

在上單調遞減； 在上單調遞增增，

且

存在唯一的實根，

由，

無最小值，則，，

綜上，，，

，.